PROJE ADI : Çarpım Tablosunda Ezbere Son
PROJE AMACI: Matematikte birden fazla yol vardır düşüncesinden yola çıkarak çarpım tablosunu öğrencilere ezberletmek yerine çarpım tablosunda yer alan örüntü ve ilişkileri öğrencilere keşfettirerek öğrencinin anlamlı öğrenmeyi gerçekleştirmesi hedeflenmiştir.
GİRİŞ: Yapılan literatür taraması çarpım tablosuna dair ilginç metotların geliştirildiğini göstermiştir. Örneğin çarpım tablosunun 9?lar kısmı ilkönce birler basamağını 9?dan 1?e kadar yazıp solundaki basamak ise sondan başlayarak 9?dan 0?a kadar yazılmasıyla ezbere gerek kalmadan kısa yoldan yazılabileceği öğrenilmiştir.
Yine yapılan araştırma sonucunda daha önce aşağıdaki gibi bir çalışmanın yapıldığı görülmüştür.
Çarpım tablosundaki 1?ler grubu Araştırma sonucu bulunan yöntem
1×1=1 1+1+(-1)=1
1×2=2 1+2+(-1)=2
1×3=3 1+3+(-1)=3
.
.
.
1×10=10 1+10+(-1)=10
yukarıda görüldüğü gibi çarpım tablosundaki 1?ler grubu oluşturulurken her defasında her bir çarpan toplanıp (-1) hiç değiştirilmeden eklenir ve sonuç karşılaştırıldığında aynıdır.
Benzer şekilde çarpım tablosundaki 2?ler grubu için:
Çarpım tablosundaki karşılığı Araştırma sonucu bulunan yöntem
2×1=2 2+1+(-1)=2
2×2=4 2+2+(0)= 4
2×3=6 2+3+(1)=6
?
2×10=20 2+10 +(8)=20
yukarıda da görüldüğü gibi her bir çarpan toplanıp (-1) den başlayarak 1?er artar.
Çarpım tablosundaki 3?ler grubu için:
Çarpım tablosundaki karşılığı Araştırma sonucu bulunan yöntem
3×1=3 3+1+(-1)=3
3×2=6 3+2+(+1)=6
3×3=9 3+3+(+3)=9
3×4=12 3+4+(+5)=12
?
3×10=30 3+10+(+17)=30
yukarıda da görüldüğü gibi 3?ler grubunda her bir çarpan toplanıp (-1) den başlayarak 2?şer artar.
Çarpım tablosundaki 4?ler grubu için:
Çarpım tablosundaki karşılığı Araştırma sonucu bulunan yöntem
4×1=4 4+1+(-1)=4
4×2=8 4+2+(+2)=8
4×3=12 4+3+(+5)=12
4×4=16 4+4+(+8)=16
?
4×10=40 4+10+(+26)=40
yukarıda da görüldüğü gibi 4?ler grubunda her bir çarpan toplanıp (-1) den başlayarak 3?er artar.
O halde benzer şekilde:
5?ler grubu için çarpanlar toplanıp,toplam (-1)den başlayarak dörder artar.
6?lar grubu için çarpanlar toplanıp,toplam (-1)den başlayarak beşer artar.
7?ler grubu için çarpanlar toplanıp,toplam (-1)den başlayarak altışar artar.
8?ler grubu için çarpanlar toplanıp,toplam (-1)den başlayarak yedişer artar.
9?lar grubu için çarpanlar toplanıp,toplam (-1)den başlayarak sekizer artar.
10?lar grubu için çarpanlar toplanıp,toplam (-1)den başlayarak dokuzar artar.
Sonuçta her bir tabloda hangi sayının çarpanlarını bulmak için her bir çarpanı toplayıp (-1) den başlayarak hangi sayı ise bir eksiğini ekleyerek farklı bir bakış açısıyla çarpım tablosu oluşturulmuştur.
Yapılan proje çalışmasında bu çalışmadan tamamen farklı olan iki yol üzerinde durulmuştur. Bu durum aynı zamanda matematikte birden fazla yol olduğunun da kanıtıdır. Yapılan çalışmada çarpım tablosundaki her bir tablonun ezberlenmesi yerine çarpım tablosunu oluşturan sayı örüntüleri keşfedilmiştir. Böylece öğrenciler sayı gruplarının ezberlemekten kurtulacak ve anlamlı öğrenmeyi gerçekleştireceklerdir. Öğrencilerde tek bir bakış açısı geliştirmek yerine matematikte birden fazla yolun kullanabileceğini göstermek hedeflenmiştir. Ayrıca çalışma sürecinde kullanılan teknik ile öğrenciler ezbere gerek kalmadan çarpım tablosunun sayılarla işlem yaparak yeniden oluşturabileceklerdir. Böylece matematiğin ilginç yönüyle karşılaşan öğrencilerin matematiğe ilgisinin artması beklenmektedir.
KULLANILAN YÖNTEM: Çarpım tablosu ile ilgili literatür taraması sonucu öğrenilen yollar kavranarak çalışma sürecine başlanılmıştır. Çalışma sürecinde çarpım tablosunun içerisinde çeşitli örüntülerin gizlendiği keşfedilmiştir. Aşağıda çarpım tablosunda yer alan her bir grup için keşfedilen örüntüler gösterilmiştir:
Çarpım tablosundaki 1?ler grubu için keşfedilen örüntü:
Birler basamağındaki örüntü 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 şeklinde iken solundaki basamak her örüntü tekrarında 1 artar.Örneğin; 00,01,02,03,04,05,06,07,08,09 şeklinde birler basamağı örüntüsü tekrarlandığında bu defa solundaki basamak 1 artarak 10,11,12,13,14,15,16,?20 ?şeklinde devam eder.
Çarpım tablosundaki 2?ler grubu için keşfedilen örüntü:
Birler basmağındaki örüntü 0,2,4,6,8 şeklinde devam ederken; solundaki basamak her örüntüde bir artar.Örneğin:00,02,04,06,08 şeklinde birler basamağı örüntüsü tekrarlandığında bu defa solundaki basamak 1 artarak 10,12,14,16,18,?şeklinde istenilen sayıya kadar devam ettirilebilir.
Çarpım tablosundaki 3?ler grubu için keşfedilen örüntü:
Birler basamağındaki örüntü sırasıyla 3 grup şeklindedir.1.grup 0,3,6,9; 2.grup 2,5,8; 3.grup 1,4,7 `dir.Her gruptan diğerine geçerken solundaki basamak 1 artış gösterir. Örneğin 00,03,06,09;12,15,18;21,24,27?şeklinde istenilen adıma kadar devam ettirilir.Görüldüğü üzere her örüntü grubundan diğerine geçerken solundaki rakamda 1 artış gösterir.
Çarpım tablosundaki 4?ler grubu için keşfedilen örüntü:
Birler basamağındaki örüntü sırasıyla 2 grup şeklindedir.1.grup 0,4,8; 2.grup 2,6 dır.Her gruptan diğerine geçerken solundaki basamak 1 artış gösterir.Örneğin: 00,04,08;12,16;20,24,28;32,36? şeklinde istenilen adıma kadar devam ettirilir.Görüldüğü üzere her örüntü grubundan diğerine geçerken solundaki rakamda 1 artış gösterir.
Çarpım tablosundaki 5?ler grubu için keşfedilen örüntü:
Birler basamağındaki örüntü 0,5 şeklinde devam ederken solundaki basamak her örüntüde 1 artar.Örneğin 00,05,10,15,? şeklinde istenilen adıma kadar devam ettirilir.Görüldüğü üzere her örüntü grubundan diğerine geçerken solundaki rakamda 1 artış gösterir.
Çarpım tablosundaki 6?lar grubu için keşfedilen örüntü:
Birler basamağındaki örüntü 2 gruptan oluşmaktadır.1.grup 6,2 ve 2.grup 8,4,0 dır.Bir gruptan diğerine geçerken solundaki basamakta en son tekrar eden rakam tekrarlanır. Ve diğer gruba geçene kadar ardışık devam eder.Örneğin: 06,12;18,24,30;36,42;48,54,60,? şeklinde istenilen adıma kadar devam ettirilir.
Çarpım tablosundaki 7?ler grubu için keşfedilen örüntü:
Birler basamağındaki örüntü 3 gruptan oluşmaktadır.1.grup 7,4,1; 2.grup 8,5,2 ; 3.grup 9,6,3,0 dır.Bir gruptan diğerine geçerken solundaki rakam ardışık olarak artar. Örüntü grubunun sonunda tekrar eden rakam diğer örüntü grubuna geçerken tekrarlanır.
Örneğin : 07,14,21 ;28,35,42 ; 49,56,63,70 ; 77,84, 91,? şeklinde istenilen adıma kadar devam ettirilir.
Çarpım tablosundaki 8?ler grubu için keşfedilen örüntü:
Birler basamağındaki örüntü 8,6,4,2,0 şeklindedir. Her örüntüde örüntünün son rakamına kadar rakamlar ardışık devam eder ve son rakam bir sonraki örüntü adımında tekrarlanır.Örneğin:08,16,24,32,40 ; 48,56,64,72,80,? şeklinde istenilen adıma kadar devam ettirilir.
Çarpım tablosundaki 9?lar grubu için keşfedilen örüntü:
Birler basamağındaki örüntü 9,8,7,6,5,4,3,2,1,0 şeklinde devam ederken solundaki rakamlar ardışık artarak devam eder.Diğer adıma geçerken solunda bulunan en son rakam tekrar yazılır ve ardışık devam eder. Örneğin:
09,18,27,36,45,54,63,72,81,90 ;99,108,117,126,135,144,153,162,171,180,? şeklinde istenilen adıma kadar devam ettirilir.
Çarpım tablosundaki 10?lar grubu için keşfedilen örüntü:
Birler basamağındaki örüntü hep 0(sıfır) şeklinde iken solundaki basamakta yer alan rakamlar ardışık olarak bir artar.Örneğin:10,20,30,40,50,?
Dikkat edildiğinde yukarıdaki örüntü ilişkilerinde ortak olan noktalar vardır. Bu noktalar:
1?lerdeki örüntü 9?lardaki örüntünün tam tersidir.
2?lerdeki örüntü (0,2,4,6,8) ; 8?lerdeki örüntünün (8,6,4,2,0) tam tersidir.
3?lerdeki örüntü (0,3,6,9 ; 2,5,8 ;1,4,7) ; 7?lerdekinin (7,4,1; 8,5,2 ;9,6,3,0) tam tersidir.
4?lerdeki örüntü (0,4,8 ;2,6) ; 6?lardaki örüntünün (6,2; 8,4,0 ) tam tersidir.
Çarpım tablosu ezberletilmeden keşfedilen örüntü kurallarıyla da öğrencilere kavratılabilir.
Matematikte birden fazla yol vardır. Bu bağlamda çarpım tablosu proje çalışma sürecinde bulduğumuz aşağıdaki şekilde de oluşturulabilir( Proje sürecinde yapılan ikinci çalışma).
Çarpım tablosundaki 9?lar grubunun oluşturulmasında aşağıdaki yöntemi kullandık:
Birler basamağı 9 dan başlandığı için 9 `dan başlayıp her defasında (-1) azaltılır. En son 0 sayısına gelindiğinde 0 dan (-1) çıkmayacağı için 9?lar grubunda olduğumuzdan 0+9= 9 yazılır ve bu bulunan sayı bir sonraki adımın başlangıcı kabul edilir.Solundaki
rakamlarda 0 dan başlayıp ardışık devam eder . Ve her 9 eklenen satırda bir önceki sayı tekrar yazılır ve benzer şekilde devam edilir.
Çarpım tablosundaki 8?ler grubunun oluşturulmasında aşağıdaki yöntemi kullandık:
Birler basamağı 8 den başladığı için 8 den başlayıp her defasında (-2) azaltılır.Birler basamağı 8 ile başlar ve 8,6,4,2,0 şeklinde devam eder.0 dan (-2) çıkarılamadığından 8?lerde olduğundan 8 eklenir ve 8,6,4,2,0 şeklinde devam eder. Solundaki basamak ise 0 dan başlayarak ardışık devam eder.Ve her 8 eklenen satırda bir önceki sayı tekrar yazılır ve devam edilir.
Çarpım tablosundaki 7?ler grubunun oluşturulmasında aşağıdaki yöntemi kullandık:
Birler basamağı 7 den başladığı için 7den başlayarak (-3) azaltılır. 7-3=4 ,4-3=1 ve 1 den -3 çıkarılamadığından 7?lerde olduğumuz için 1 sayısına 7 eklenir.1+7=8 olur.benzer şekilde 8 den başlayarak -3 azaltılarak devam eder. Solundaki rakamlar ise 0 dan başlayarak ardışık olarak yazılır ve her 7 eklenen satırda bir önceki sayı tekrar yazılır ve devam eder.
Çarpım tablosundaki 6?lar grubunun oluşturulmasında aşağıdaki yöntemi kullandık:
Birler basamağı 6 dan başladığı için 6?dan başlayarak (-4) azaltılır.6-4=2 olur. 2 den -4 çıkarılamadığından 6?larda olduğumuz için 2 sayısına 6 eklenir.2+6= 8 olur. Benzer şekilde 8 den başlayarak 4 azaltılarak devam edilir. 8-4=4 ve 4-4= 0 olur. 0 dan 4 çıkmaz tekrar 6?larda olduğumuz için 0+6= 6 olur ve davam edilir.Solundaki rakamlar ise 0 dan başlayarak ardışık olarak yazılır ve her 6 eklenen satırda bir önceki sayı tekrar yazılarak devam edilir.
Çarpım tablosundaki 5?ler grubunun oluşturulmasında aşağıdaki yöntemi kullandık:
Birler basamağı 5?ten başladığı için 5?ten başlayarak (-5) azaltılır.5-5=0 olur. 0 dan 5 çıkarılamadığından 5?lerde olduğumuz için 0 sayısına 5 eklenir.0+5= 5 olur. Benzer şekilde 5 ten başlayarak 5 azaltılarak devam edilir. 5-5=0 olur ve devam edilir.Solundaki rakamlar ise 0 dan başlayarak ardışık olarak yazılır ve her 5 eklenen satırda bir önceki sayı tekrar yazılarak devam edilir.
Bulduğum yönteme göre çarpım tablosundaki 4,3,2, ve 1?ler gruplarını 0?dan (sıfırdan) başladığını kabul ettik.
Çarpım tablosundaki 4?ler grubunun oluşturulmasında aşağıdaki yöntemi kullandık:
Birler basamağı 0 dan başlayarak 6 azaltılır. Ancak 6 çıkarılamadığından 4?lerde olduğumuz için 4 eklenir.4?ten (-6) azaltılır ve 4 ten 6 çıkarılamadığından 4?lerde olduğumuz için 4 eklenir ve 4+4= 8 olur. Şimdi 8den 6 çıkartılır 8-6=2 bulunur.Tekrar 2 den 6 çıkmaz 4?lerde olduğumuzdan 4 eklenir. 2+4=6 olur. Şimdi 6-6-= 0 olur. Benzer şekilde devam edilebilir.Solundaki rakamlar ise 0?dan başlayarak 0,0,0; 1,1 ;2,2,2 ;3,3 ;4,4,4 ;5,5;? şeklinde devam eder.
Çarpım tablosundaki 3?ler grubunun oluşturulmasında aşağıdaki yöntemi kullandık:
Birler basamağı 0?dan başlayarak 7 azaltılır. Ancak 7 çıkarılamadığından 3?lerde olduğumuz için 3 eklenir.0+3=3 olur.3?ten 7 çıkmadığından tekrar 3 eklenir. 3+3= 6 olur. 6 dan 7 çıkmadığı için tekrar 3 eklenir 6+3=9 olur. Şimdi 9 den 7 çıkartılır 9-7=2 bulunur.Tekrar 2 den 7 çıkmaz 3?lerde olduğumuzdan 3 eklenir. 2+3=5 olur. 5?ten 7 çıkmaz tekrar 3 eklenir 5+3=8 olur. Şimdi 8-7=1 olur.Tekrar 1 den 7 çıkmaz 3?lerde olduğumuz için 3 eklenir 1+3=4 olur.4 ten 7 çıkmaz tekrar 3 eklenir 4+3=7 olur. Tekrar 7 çıkartılır 7-7 =0 bulunur.Benzer şekilde devam eder. Solundaki rakamlar ise 0?dan başlayarak 0,0,0,0 ;1,1,1; 2,2,2; 3,3,3,3 ;4,4,4 ;5,5,5;? şeklinde devam eder.
Çarpım tablosundaki 2?ler grubunun oluşturulmasında aşağıdaki yöntemi kullandık:
Birler basamağı 0?dan başlayarak 8 azaltılır. Ancak 8 çıkarılamadığından 2?lerde olduğumuz için 2 eklenir.0+2=2 olur.2?den 8 azaltılır ancak 2?den 8 çıkarılamadığından 2?lerde olduğumuz için 2 eklenir ve 2+2= 4 olur. 4?ten 8 çıkmadığı için tekrar 2 eklenir 4+2=6 olur. 6 dan 8 çıkmadığı için tekrar 2 eklenir 6+2=8 olur.Şimdi 8 den 8 çıkartılır 8-8=0 bulunur.benzer şekilde tekrar edilir.Solundaki rakamlar ise 0 dan başlayarak 0,0,0,0,0; 1,1,1,1,1 ;2,2,2,2,2 ;3,3,3,3,3;? şeklinde devam eder.
Çarpım tablosundaki 1?ler grubunun oluşturulmasında aşağıdaki yöntemi kullandık:
Birler basamağı 0?dan başlayarak 9 azaltılır. Ancak 9 çıkarılamadığından 1?lerde olduğumuz için 1 eklenir.0+1=1 olur. 1?den 9 azaltılır ancak 1?den 9 çıkarılamadığından 1?lerde olduğumuz için 1 eklenir ve 1+1= 2 olur. 2?den 9 çıkmadığı için tekrar 1 eklenir 2+1=3 olur. 3?ten 9 çıkmadığı için tekrar 1 eklenir 3+1=4 olur.Benzer şekilde devam edilir.Solundaki rakamlar ise 0?dan başlayarak 0,0,0,?.,0(10 tane); 1,1,1?1( 10 tane); 2,2,2?,2 (10 tane) şeklinde devam eder.
PROJE BÜTÇESİ :10 TL
PROJE ÇALIŞMASININ TAKVİMİ:
08 Ekim-26Ekim: Yapılan proje örneklerinin incelenmesi ve proje konusunun belirlenmesi.
29 Ekim-23 Kasım:Seçilen proje konusuyla ilgili literatür taramasının yapılması.
26 Kasım-21 Aralık:Projenin uygulanması.
24 Aralık -25 Ocak : Projenin yazılması, düzeltmelerin yapılması ve gönderilmesi.
SONUÇLAR VE DEĞERLENDİRİLMESİ:
Yukarıda yöntem bölümünde gösterildiği gibi çarpım tablosu ezberletilmeden öğrencilerde anlamlı öğrenme gerçekleştirilebilir. Bu süreç matematikte birden fazla yol olduğunun göstergesidir.
Proje çalışması sürecinde iki farklı yol bulunmuştur. Bunlar biri çarpım tablosunu oluşturan her bir grubun aslında örüntü gruplarından oluştuğudur.(Yukarıda Yöntem kısmında örüntü grupları detaylı anlatılmıştır ve görseller kısmında gösterilmiştir). Her grup çeşitli örüntü kurallarıyla birbirine bağlanmıştır. Bu süreçte izlenen diğer yol ise çarpım tablosunu yeniden faklı bir yolla oluşturulmasıdır. Bu yol denenirken özellikle aşağıdaki nokta dikkate alınarak işlemler yapılmıştır.
Çarpım tablosundaki grup Birler basamağında yapılan işlem
9 lar için (-1) azaltılır
8 ler için (-2) azaltılır
7 ler için (-3) azaltılır
.
.
.2 ler için (-8) azaltılır
1 ler için (-9) azaltılır.
KAYNAKLAR:
www.vidivideo.com
www.gencmatematik.com
www.bilimşenliği.com
www.matematikfestivali.com
www.matematikdergisi.com
www.youtube.com
İSTANBUL ESENYURT
Esenyurt 80. Yıl Ortaokulu
Namik Kemak Mahallesi 115.Sokak No:1 Esenyurt
MATEMATİK – ÇARPIM TABLOSUNDA EZBERE SON
ENES ERDEM DEFNE YELDA YAMAN
DİLEK YILDIZ
Fen Projesi / Matematik Projesi
Bu Benim Eserim Fen Bilimleri ve Matematik Projeleri Yarışması
Bilim Şenliği Projeleri
