Matematik Öğrenci Projesi – NGENLERDEN FRAKTALLARA

Fen Projesi / Matematik Projesi
Bu Benim Eserim Fen Bilimleri ve Matematik Projeleri Yarışması
Bilim Şenliği Projeleri

PROJE ADI : N-GENLERDEN FRAKTALLARA

PROJE AMACI : Fraktal örneklerinden olan Koch Kar Tanesi?nin yapısından yararlanarak; üçgen,dörtgen,beşgen? gibi n-genlerden oluşan fraktallar çizebilme becerisinin kazandırılması  ve n-genler yardımıyla çizilen fraktal yapılarının herhangi bir adımındaki n-gen sayısını veren formülün bulunması amaçlanmıştır.

 GİRİŞ:  Bir şeklin orantılı olarak küçültülmüş veya büyütülmüş modelleriyle inşa edilen örüntülere fraktal adı verilir.Düzensiz ayrıntılar ya da desenler giderek küçülen ölçeklerde tekrarlanır. Öyle ki bütünün her bir parçası büyütüldüğünde yine cismin bütününe benzer. İlk olarak 1975?te Polonya asıllı matematikçi Beneoit B. Mandelbrot tarafından ortaya atılan fraktal kavramı, yalnızca matematik değil fizikokimya, fizyoloji ve akışkanlar mekaniği gibi değişik alanlar üzerinde önemli etkiler meydana getiren yeni bir geometri sisteminin doğmasına yol açmıştır.Bu fraktal olgusu  kar tanesi ve ağaç kabuğunda kolayca gözlenebilir. Örneğin Koch Kar Tanesi, eşkenar bir üçgenin sürekli olarak uç kısımlarının, simetrik şekilde katlanmasıyla elde edilir. Şekli kar tanesini andırdığından bu adı almıştır. Buradan hareketle kendi fraktal şekillerimizin oluşturulup oluşturulamayacağı üzerine düşünülmüştür.  Bir eşkenar üçgen alınıp her bir kenarı üç eş parçaya bölünüp ortadaki parça yeni çizilecek olan üçgenin tabanı olmak üzere birinci adımdan itibaren çizilen eşkenar üçgenin her kenarına uygulanır. Böylece yeni oluşan eşkenar üçgenin bir kenarı ilk çizilen üçgenin 1/3 ü kadar olur.  O halde bir eşkenar üçgenin bir kenarının üç eş parçaya bölünmesi ve ortadaki parçanın yeni oluşan üçgen için taban olması şeklinde devam eden fraktalın ;adım sayısı ile her bir adımda çizilen üçgen sayısı hesaplanmaya çalışılır. Koch Kar Tanesi?nde çizilen eşkenar üçgenlerin alanlarından hareket edilerek çalışmalar yapıldığı literatür taraması sırasında öğrenilmiştir.Bu çalışmada ise çizilen eşkenar üçgen sayısı ile ilgilenilmiş; genel bir formül oluşturulması ve bulunan formül yardımıyla da herhangi bir n- gen kullanılarak oluşturulan  fraktalın ;herhangi bir adımında yer alan n-gen sayısının bulunması hedeflenmiştir.

KULLANILAN YÖNTEM: ?Kar tanelerinin her biri aynı yapıda mıdır ve hangi geometrik şekilleri barındırabilir??Sorusundan hareketle çalışma süreci başlamıştır. Öncelikle kar tanesi çeşitleri araştırılmış ve yapısının fraktala benzediği görülmüştür. Fraktal konusuyla ilgili olarak detaylı bir araştırma yapılmıştır. Koch Kar Tanesi, eşkenar bir üçgenin sürekli olarak uç kısımlarının, simetrik şekilde katlanmasıyla elde edildiği yapılan araştırma sonucu öğrenilmiştir. Özellikle fraktal bir yapıya sahip olan kar tanesinin yapısı diğer fraktalların da doğadaki yerini akla getirmiş ve araştırmalar bu konu üzerine yoğunlaştırılmıştır. Detaylı bir araştırmadan sonra ise ?üçgen, dörtgen, beşgen ?gibi n- genler kullanılarak  benzer fraktallar oluşturulabilir miydi?? sorusu gündeme gelmiştir. Bir eşkenar üçgen çizilerek başlanmış ve bu eşkenar üçgenin her bir kenarı 3 eş parçaya bölünüp ortadaki kenar yeni çizilen eşkenar üçgeninin bir kenarı olmak üzere çizimler tamamlanmıştır.  Bir şeklin orantılı olarak küçültülmüş veya büyütülmüş modelleriyle inşa edilen örüntülere fraktal dendiğinden çizilen şeklinde fraktal yapıya sahip olduğu görülmüştür. Aynı süreç dörtgen, beşgen içinde tekrarlandığında yine fraktal yapıların ortaya çıktığı görülmüştür. Daha sonra ise çizilen fraktalın  herhangi bir adımındaki üçgen sayısının; fraktal çizimi yapılmadan nasıl bulunabileceği sorusundan hareketle bir formül geliştirilebileceği düşünülmüştür. Bu bağlamda çalışma süreci aşağıdaki gibi adım sayısı ve üçgen sayısı yazılarak  devam etmiştir. Çalışma sırasında adım sayısı ile çizilen üçgen sayısı arasında ilginç bir ilişki olduğu keşfedilmiş ve bu ilişki aşağıda gösterilmiştir.

   Adım Sayısı           Çizilen üçgen sayısı           Adım sayısı ile çizilen üçgen

                                                                       sayıs arasındaki   ilişki

    1.Adım           =         1                                                   –

   2.Adım            =        1+3                                        1+3.20

   3.Adım          =        1+3+6                                       1+3.20+3.21

 4.Adım          =        1+3+6+12                                    1+3.20+3.21+3.22

                    ….

   n.Adım        = 1+3.20+3.21+3.22+?+3.2n-2

Yukarıda adım sayısı ile o adımda bulunan üçgen sayısı arasındaki ilişki gösterilmiştir. Her adımda kaçar tane üçgen olduğunu hesaplamanın daha kısa yolu ne olabilir? Sorusundan hareketle üçgenlerden oluşan bu fraktalın herhangi bir adımındaki üçgen sayısını bulmak için şu formül geliştirilmiştir:

  n.Adım :     1+3.20+3.21+3.22+?+3.2n -2

                  = 1 + 3. ( 1+21+22+?+2n-2)

     Yukarıda elde edilen işlemin nasıl hesaplanacağına dair literatür taraması yapıldığında bunun bir geometrik dizi olduğu ve aşağıdaki formülü kullanarak hesaplamaların yapılabileceği öğrenildi.

        1 + r + r2+ r3 + ? + r n-1= (1- r n)           n ? N+ r ? 1

                                               (1-r )

Bu bağlamda n.adımın hesaplanmasındaki işleme devam edilirse

 = 1 + 3. ( 1+21+22+?+2n-2)

 =   1+3.( 1- 2 n-2+1)

                 1-2

 =   1+ 3. (1- 2 n-1)

                   -1

 = 1  + 3 .(2 n-1- 1 )

                     1

bulunur.Bu bulunan formül n adım sayısı  olmak üzere eşkenar üçgenlerden oluşan bir fraktalın hangi adımında kaç üçgenin olduğunu bulmak için kullanılabilecek genel formüldür. Gerçektende bu çizilen fraktalın 3. adımındaki üçgen sayısını bulmak istediğimizde n=3 alınır

 1 + 3 .( 2 3-1 – 1)   =  1 + 3.( 2 2-1)  = 1+ 3. 3 = 10 bulunur.

                1                              1

 Gerçektende 3 .Adımdaki üçgen sayısı 1 +3+6 = 10 bulunmaktadır. O Halde 8.adımdaki üçgen sayısı da  n=8 için

 1 + 3 .( 2 8-1 – 1)   =  1 + 3.( 2 7-1)  = 1+ 3. 127 = 1+381=382

                1                              1

 bulunur. 8.adımdaki üçgen sayısı formülü kullanmadan da bulunabilirdi; ancak çizmek hem çok zaman alır hem de  çizim işimizi zorlaştırırdı.

          Eşkenar üçgenlerden oluşan fraktalın çizimi ve herhangi bir adımdaki üçgen sayısını veren formül bu şekilde bulunmuştur. ?Acaba üçgen için bulunan ve çizilebilen bu fraktal yapı dörtgen içinde çizilebilir miydi?? Sorusu üzerine    dörtgenlerden oluşan fraktal ve genel formülü araştırıldı. İlk olarak bir dikdörtgen çizip kenarlarını 3 eş parçaya böldük.Ortadaki parça yeni çizilen dikdörtgenin kenarı olmak üzere yeni dikdörtgenler çizildi.Aynı işlem diğer adımlarda da  uygulandı ve ortaya bir fraktal yapı çıktı.Dikdörtgenlerden oluşan fraktal için istenilen  adımında kaç tane dikdörtgenin olduğunu bulmak için ise aşağıdaki gibi adım sayısı ve çizilen dörtgen sayısı belirtildi. Adım sayısı ve çizilen dörtgen sayısı tıpkı üçgen fraktalındaki gibi yazıldı ve aralarındaki ilginç ilişki keşfedildi.

    Adım Sayısı           Çizilen dörtgen sayısı           Adım sayısı ile çizilen dörtgen sayısı    arasındaki   ilişki

   1.Adım           =         1                                                   –

   2.Adım            =        1+4                                       1+4.30

  3.Adım          =        1+4+ 12                                    1+4.30+4.31

 4.Adım          =        1+4+12+36                                1+4.30+4.31+4.32

    n.Adım        = 1+4.30+4.31+4.32+?+4.3n-2

                       =1 + 4. ( 1+31+32+?+3n-2)

  bulunur. Üçgen fraktalındaki  gibi;

       1 + r + r2+ r3+ ? + rn-1= (1- rn) / (1-r )   n ? N+r ? 1  formülü kullanılarak bir hesaplama yapıldığında;

                                                                                                                                                                                                                                                                                 =  1+4

( 1- 3 n-2+1)

     1-3

 =   1+ 4. (1- 3 n-1)

                   -2

    = 1  + 4 .(3 n-1- 1 )

                        2

 bulunur.bu bulunan formül n adım sayısı  olmak üzere dörtgenlerden oluşan bir fraktalın hangi adımında kaç tane dörtgenin olduğunu bulmak için kullanılabilecek genel formüldür. Gerçektende bu çizilen fraktalın 3. adımındaki dörtgen  sayısını bulmak istediğimizde n=3 alınır

1 + 4 .( 33-1 – 1)   =  1 + 4.( 3 2-1)  = 1+ 4. ( 9-1 )    =  1 + 4.4=1+ 16= 17

                 2                            2                       2

    Gerçektende yukarıda gösterildiği gibi 3. adımda 1 + 4 +12 = 17 tane dörtgen bulunur. Benzer şekilde istenilen adımdaki dörtgen sayısına bu formülle ulaşılabilir.

 Aynı kural beşgen , altıgen ve yedigen içinde geçerli olmaktadır. Örneğin beşgen için kullanılacak genel formül

            1  + 5 .(4 n-1- 1 ) iken altıgen için          1  + 6 .(5 n-1- 1 )  olmaktadır.

                          3                                                          4

       O halde üçgen, dörtgen,beşgen ? gibi tüm n- genlerden oluşan fraktallarda ; fraktalın her hangi bir adımında kaçar tane n- gen olduğunu bulmak için genel bir formül oluşturulabilir miydi? Sorusundan hareketle bir formül oluşturulması amaçlandı ve bu yönde çalışmalara başlandı.

 Sonuçta her birini içine alan bir formül çeşitli denemeler sonucunda keşfedildi. Denemeler  ve çizimler sonucunda formülün doğruluğu ispatlanmıştır.

Bulunan formül:

        N: adım sayısı

         P: n-genin kenar sayısı olmak üzere

                                    1+p . [ ( p-1) (n-1) -1 ]

                                                    p-2

bulundu.

Şimdi bulunan bu formülü dörtgenlerden oluşan bir fraktalın 4.adımındaki üçgen sayısını bulmak için kullanalım ve bulunan sonucu yukarıda hesaplanan örüntüyle karşılaştıralım:

Fraktal dörtgenden oluşacağı için p=4 ve 4. adımındaki dörtgen sayısı istendiği içinde n= 4 alınır .Buradan hareketle:

                     1+4. [ ( 4-1) (4-1) -1 ]    = 1+4. [ ( 3) (3) -1] =        1+4.26     = 53 bulunur.

                                   4-2                                 2                        2

Gerçektende yukarıdaki hesaplamalarda olduğu gibi dörtgenlerden oluşan bir fraktalın 4.adımında 53 tane dörtgen bulunmaktadır. Hiçbir çizim yapmadan bulunan formül ile istenilen n-genden oluşturulan fraktalın istenilen adımındaki n-gen sayısı bulunabilmektedir.

    PROJE BÜTÇESİ :10 TL

 PROJE ÇALIŞMA TAKVİMİ :

08 Ekim-26Ekim: Yapılan proje örneklerinin incelenmesi ve proje konusunun belirlenmesi.

29 Ekim-23 Kasım:Seçilen proje konusuyla ilgili literatür taramasının yapılması.

26 Kasım-21 Aralık:Projenin uygulanması.

24 Aralık -25 Ocak : Projenin yazılması, düzeltmelerin yapılması ve gönderilmesi.

   SONUÇLARIN VE SONUÇLARIN DEĞERLENDİRİLMESİ :

Çalışılan proje fraktal konusunu ilgilendirdiğinden ve konu görseller ile doğada bulunma oranı bakımından fazla olduğundan ilgi çekmiştir. Öğrenciler matematik alanında yeni gelişen bir  konuyu müfredatta yeterince yer verilmemesine rağmen  öğrenmişler ; öğrenirlerken de eğlenmişlerdir. Hem görsel zekanın gelişmesine hem de matematiksel hesaplamalar yaptıkları için matematiksel- mantıksal zeka gelişimine katkı sağlayan bir konu üzerinde çalışılmıştır. Ayrıca çizim yapmaları pisiko-motor becerilerini gelişmesine katkı sağlarken  kinestetik zeka alanının gelişmesini sağlamıştır. Araştırma sürecinde farklı üç boyutlu resim ve materyallerle karşılaşmaları onların uzamsal zeka alanının gelişmesine de katkı sağlamıştır. Ayrıca bulunan formüller öğrencilerin ilgisini çekmiş ve matematikte diğer konulardaki bilgileri kabullenmektense öğrencilerin matematik konularını sorgulamaya başladığı görülmüştür. Yapılan proje sayesinde istenilen bir n-gen seçilip fraktal çizilebilir.Çizilen fraktalında herhangi bir adımındaki yer alan n-gen sayısı hesaplanabilir. Ancak bazı adımları çizmek çok zor, zaman alıcı ve uzun gelebilmektedir. Bu durumda da bulunan formül yardımıyla  hesaplamalar yapılarak istenilen n- gen kullanılarak çizilen fraktalın istenilen adımında ki n-gen sayısı bulunabilir.Örneğin hiç çizim yapmadan aşağıda verilen formül sayesinde  ongen kullanılarak çizilen bir fraktal yapının 100. adımında kullanılan ongen sayısı hesaplanabilir.  Çalışma süreci sonunda oluşturulan formül ise şu şekildedir:

   N: adım sayısı

   P: n-genin kenar sayısı olmak üzere

                                 1+p. [ ( p-1) (n-1) -1 ]

                                              p-2

KAYNAKLAR :
tr.wikipedia.org/wiki/Fraktal
matematikce.net/mfraktallar.html
genbilim.com/content/view/417/37/
matematikdünyası.com
ogretmenindunyasi.com

İSTANBUL ESENYURT
Esenyurt 80. Yıl Ortaokulu
Namik Kemak Mahallesi 115.Sokak No:1 Esenyurt
MATEMATİK – NGENLERDEN FRAKTALLARA
HELIN ÖZDOĞAN SERHAT DEMIR
DİLEK YILDIZ

CEVAP VER

Lütfen yorumunuzu giriniz!
lütfen isminizi buraya girin