Proje Pisagor Origami

Proje Pisagor Origami

PROJE ADI : PisagORigami

PROJENİN AMACI : Origami ( kağıt katlama sanatı ) yardımıyla kare şeklindeki bir kağıt ile Pisagor Teoremini keşfedebilmek, uygulamalarını gerçekleştirmek. Böylelikle cetvel vb ölçme araçları kullanmadan bazı özel dik üçgenleri sadece kağıt katlayarak elde etmek.Bunun sonucunda kağıt katlama şekillerine göre özgün bir algoritma oluşturmak.

GİRİŞ : Meb proje bankası (http://earged.meb.gov.tr) , internet : Geometri Öğretiminde Origami Kullanımı 1.Matematik Öğretiminde Çağdaş Yaklaşımlar Sempozyumu 6-9 Temmuz 2011 Program,Çalıştaylar ve Bildiri Özetleri (18-22),Hull T.(2006) Activities for Exploring Mathematics, Project Origami,Kavici M,Tuğrul B. Kağıt katlama Sanatı Origami ve Öğrenme kongre.nigde.edu.tr/xufbmek/…/2298-28_05_2012-22_58_27.pdf ,Nesin A. Zeka soruları Matematik Dünyası Dergisi Bahar ,www.biltek.tubitak.gov.tr/…/ythazirantam08.pdf , |tr&u=http://www.mathsisfun.com/pythagoras.html&ei=rcIIUbiZEomGhQfxy4CABA ve diğer dökümanlardan ( Prof. Dr. Mehmet TAGİYEV HAMİDOĞLU) yaptığımız literatür taramasında origami ve Pisagor teoremi hakkında çalışmalar yapılmıştır.

Projemizin hedefi ; geometri öğretiminde görselleştirme unsurundan yararlanarak, kolay ulaşılabilir bir materyal olan kağıt aracığıyla katlamalar (origami) yaparak Pisagor Teoreminin uygulamalarını tespit edebilmek ve böylelikle cetvel vb. ölçme araçlarını kullanmadan bazı özel dik üçgenleri sadece kağıt katlayarak elde edebilmektir. Ayrıca, hedeflerimizden bir diğeri de kâğıt katlama şekillerine göre bir algoritma oluşturmaktır.Ayrıca yeni özel dik üçgenleri bulmakda hedeflerimizdendir.

Projemizin yapılan çalışmalardan farkı, kare şeklindeki bir kağıttan katlamalar yaparak (origami) kenarları 3-4-5, 5-12-13 7-24-25 ve 8-15-17 ile orantılı olan dik üçgenleri elde edip, katlama şekilleri ile dik üçgenlerin kenarları arasındaki ilişkiyi gösteren bir örüntü oluşturmaktır.Ayrıca farklı dik üçgenlerinin projemizde ortaya çıkması projemizin farklılığını ve çeşitliliğini desteklemektedir.

KULLANILACAK YÖNTEM : Araştırma, uygulama, değerlendirme ve test etme yöntemleri kullanılmıştır. Projemiz, Pisagor bağıntısının sonucuyla genelleştirilen bazı özel dik üçgenleri farklı yollardan keşfetme düşüncesi ile ortaya çıkmıştır. Literatür taramasından sonra origami yardımıyla özel dik üçgenleri elde ettik.

3-4-5 dik üçgeni:Kare şeklindeki bir kağıdı isimlendirdik.(ABCD) Karenin bir kenar uzunluğuna 1 br dedik. Bu kağıdı AD kenarının orta noktasından ikiye katladık.

AD kenarının orta noktasını E ile isimlendirdik. Bu durumda AE=ED=1/2 br olur.

Daha sonra bu karenin C köşesini (sağ alt) bu orta noktaya doğru katladık. Bunun sonucunda DCkenarı boyunca oluşan noktaya F ismi verdik. Bu durumda DF=x br ve FC=1-x br oldu.

Katlamayı tekrar yaptığımızda FC uzunluğunun EF uzunluğuna eşit olduğu gözlemlenmiştir. Bu sebeple EF=1-x br olur.

Sağ üst köşede oluşan kenarları ED=1/2,DF=x ve EF=1-x br olan EFD dik üçgeninde Pisagor bağıntısını yaptığımızda

ED nin karesi + DF nin karesi = EF nin karesi

¼ + x in karesi=(1-x) in karesi.

Gerekli işlemler yapıldığında x değerinin 3/8 olduğu bulundu. Yani DF kenarı 3/8 bulundu.

Bu durumda FC=1-x olduğundan FC=1-3/8=5/8 bulundu.

ED=1/2= 4/8.

Sonuç olarak EFD dik üçgeni kenarları 3/8, 4/8,5/8 olan bir dik üçgen olduğu ortaya çıkmıştır. Yani kenarları 3,4,5 ile orantılı bir dik üçgeni sadece kağıt katlayarak elde etmiş olduk.

7-24-25 dik üçgeni :Kare şeklindeki bir kağıdı isimlendirdik.(ABCD) Karenin bir kenar uzunluğuna 1 br dedik. Bu kağıdı AD kenarının orta noktasından ikiye katladık.

Daha sonra oluşan iki parçayı tekrar iki eş parçaya ayırdık. Böylelikle AD kenarını dört eşit parçaya ayırmış oldu. Oluşan dört noktaya sırasıyla E,F,G noktası ismini verdik.

Bu durumda AE=EF= FG=GD= 1/4 br olur.Daha sonra bu karenin C köşesini (sağ alt) E noktası boyunca katladık.

AE=1/4 ve ED=3/4 br olur. Bunun sonucunda DC kenarı boyunca oluşan noktaya H ismi verdik.Bu durumda DH=x br ve HC=1-x br oldu.

Katlamayı tekrar yaptığımızda HC uzunluğunun HE uzunluğuna eşit olduğu gözlemlenmiştir. Bu sebeple HE=1-x br olur.

Sağ üst köşede oluşan kenarları ED=3/4 ,DH=x ve EH=1-x br olan EHD dik üçgeninde pisagor bağıntısını yaptığımızda

EDnin karesi + DH nin karesi = EH nin karesidir.

9/16 + x in karesi=(1-x) in karesi. Gerekli işlemler yapıldığında x değerinin 7/32 olduğu bulundu.

Yani DH kenarı 7/32 br bulundu. Bu durumda EH=1-x olduğundan,EH=1-7/32=25/32 bulundu. ED=3/4= 24/32.

Sonuç olarak EHD dik üçgeni kenarları 7/32, 24/32 ve 25/32 olan bir dik üçgen olduğu ortaya çıkmıştır. Yani kenarları 7-24-25 ile orantılı bir dik üçgeni sadece kağıt katlayarak elde etmiş olduk.

5-12-13 dik üçgeni :Kare şeklindeki bir kağıdı isimlendirdik.(ABCD) Karenin bir kenar uzunluğuna 1 br dedik.Bu kağıdı AD kenarının boyunca üç eşit parça olacak şekilde katladık.

Oluşan iki noktaya sırasıyla E,F noktası ismini verdik. Bu durumda AE=EF=FD= 1/3br olur. Daha sonra bu karenin C köşesini (sağ alt) E noktası boyunca katladık.

AE=1/3 ve ED=2/3 br olur. Bunun sonucunda DC kenarı boyunca oluşan noktaya H ismi verdik.

Bu durumda DH=x br ve HC=1-x br oldu.

Katlamayı tekrar yaptığımızda HC uzunluğunun HE uzunluğuna eşit olduğu gözlemlenmiştir.Bu sebeple HE=1-x br olur.

Sağ üst köşede oluşan kenarları ED=2/3 ,DH=x ve EH=1-x br olan

EHD dik üçgeninde Pisagor bağıntısını yaptığımızda ED nin karesi + DH nin karesi = EH nin karesidir.

4/9 + x in karesi=(1-x) in karesi.

Gerekli işlemler yapıldığında x değerinin 5/18 olduğu bulundu. Yani DH kenarı 5/18 br bulundu.

Bu durumda EH=1-x olduğundan EH=1-5/18=13/18 bulundu.ED=2/3= 12/18 dir.

Sonuç olarak EHD dik üçgeni kenarları 5/18, 12/18 ve 13/18 olan bir dik üçgen olduğu ortaya çıkmıştır. Yani kenarları 5-12-13 ile orantılı bir dik üçgeni sadece kağıt katlayarak elde etmiş olduk.

8-15-17 dik üçgeni :Kare şeklindeki bir kağıdı isimlendirdik.(ABCD) Karenin bir kenar uzunluğuna 1 br dedik. Bu kağıdı AD kenarının boyunca beş eşit parça olacak şekilde katladık.

Oluşan dört noktaya sırasıyla E,F,G,K noktası isimlerini verdik.

Bu durumda AE=EF= FG= GK=KD= 1/5 br olur.

Daha sonra bu karenin C köşesini (sağ alt) F noktası boyunca katladık.

AF=2/5 ve FD=3/5 br olur. Bunun sonucunda DC kenarı boyunca oluşan noktaya H ismi verdik.

Bu durumda DH=x br ve HC=1-x br oldu.

Katlamayı tekrar yaptığımızda HC uzunluğunun HF uzunluğuna eşit olduğu gözlemlenmiştir.Bu sebeple HF=1-x br olur.

Sağ üst köşede oluşan kenarları FD=3/5 ,DH=x ve EH=1-x br olan FHD dik üçgeninde Pisagor bağıntısını yaptığımızda

FD nin karesi + DH nin karesi = FH nin karesi; 9/25 + x in karesi=(1-x) in karesi.

Gerekli işlemler yapıldığında x değerinin 16/50 olduğu bulundu. Yani DH kenarı 16/50 br bulundu.

Bu durumda FH=1-x olduğundan,FH=1-16/50=34/50 bulundu. FD=3/5= 30/50 dir .

Sonuç olarak FHD dik üçgeni kenarları 16/50, 30/50 ve 34/50 olan bir dik üçgen olduğu ortaya çıkmıştır. Yani kenarları 8,15,17 ile orantılı bir dik üçgeni sadece kağıt katlayarak elde etmiş olduk.

Yaptığımız bu deneylerden sonra projemiz olan PisagORigami ile ilgili oluşturduğumuz algoritma

½ oranında katladığımızda 3,4,5 ile orantılı dik üçgen (1+2= 3)

¾ oranında katladığımızda 7,24,25 ile orantılı dik üçgen (3+4= 7)

7/8 oranında katladığımızda 15,112,113 ile orantılı dik üçgen (7+8= 15)

15/16 oranında katladığımızda 31,480,481 ile orantılı dik üçgen (15+16= 31)

3,7,15,31 63… şeklinde giden örüntüde 2 katının 1 fazlası olduğu tespit edilmiştir.

2/3 oranında katladığımızda 5,12,13 ile orantılı dik üçgen (2+3=5)

5/6 oranında katladığımızda 11,60,61 ile orantılı dik üçgen (5+6=11)

11/12 oranında katladığımızda 23,264,265 ile orantılı dik üçgen (11+12=23)

5,11,23 45…. şeklinde giden örüntüde 2 katının 1 fazlası olduğu tespit edilmiştir.

Ayrıca kağıdı 3/5 oranında katladığımızda 8,15,17 ile orantılı dik üçgen ( 3+5= 8 )

9/10 oranında katladığımızda 19,180,181 ile orantılı dik üçgen ( 9+10= 19 ) şeklindedir.

Yaptığımız bu çalışmalar deneylerle kanıtlanmıştır. Böylelikle 8. sınıf müfredatımızda bazı pratik dik üçgenlerin yanısıra farklı dik üçgenlerde bulmuş olduk.

Proje Bütçesi : 6 TL

Proje Çalışmasının Takvimi:

8 Ekim- 12 Ekim : Özel dik üçgenlerin cetvel kullanmadan nasıl oluşturulduğunun merak edilmesi.

15 Ekim-26 Ekim : Soruna yönelik literatür araştırmasının yapılması. Origami ile ilgili bilgilerin kaynaklardan incelenmesi.

5 Kasım -23 Kasım: Origami ile ilgili algoritmaların oluşturulmaya başlanması.

26 Kasım ? 7 Aralık : PisagORigami isminin oluşturulması.

10 Aralık-28 Aralık : Deneylerle projenin desteklenmesi.

31 Aralık ? 11 Ocak : Projenin değerlendirilmesi ve rapor yazımı.

Ulaşılabilecek Sonuçlar : Projemizle cetvel ve benzeri ölçüm araçları kullanmadan sadece kağıt katlama (origami) yaparak bazı özel dik üçgenleri (3-4-5, 5-12-13,7-24-25,8-15-17 gibi ) oluşturarak, kâğıt katlama şekillerine göre dik üçgenlerin kenarları arasındaki ilişkiyi gösteren bir algoritma oluşturulmuştur.Ayrıca yeni dik üçgenlerde oluşturulmuştur. (15-112-113, 31-480-481,11-60-61,23-264-265,17-144-145 gibi )

Bu algoritma ile görselleştirmenin geometri öğretimine önemli bir katkı yaptığı gözlemlenmiştir. Kolay ulaşılabilir bir materyal olan kağıtla cetvel kullanmadan sadece origami yaparak , 8. Sınıf müfredatında öğrenilen Pisagor teoremi ile ilgili çeşitli örneklemeler yapılmıştır. Bunun sonucunda katlama şekilleri ve yerleri ile 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 ve 7-24-25 gibi 8. Sınıfta işimize yarayacak olan özel dik üçgenleri farklı bir açıdan yola çıkarak elde etme sonucuna varılmıştır. Böylelikle geometri öğretiminde farklı bir bakış açısı kazandırılarak eğlenerek, görerek ve yaparak hem el kas koordinasyonu geliştirilmiş hem de amaca uygun bir algoritma oluşturulmuştur.

Ayrıca origaminin sadece kare şeklindeki bir kağıt ile değil diğer geometrik şekillerle de katlamalar yapılarak geliştirilmesi düşünülmektedir.Bu durum projenin gelişimi açısından önemli bir durumdur.

Sonuçların Değerlendirilmesi

Günlük yaşantıda karşılaşılan bir problem ile ilgili çözüm düşüncesinin oluşması önemlidir.

Oluşturduğumuz bu proje de böyle bir günlük yaşantı sonucunda ortaya çıkmıştır ve çözümünün oluşması isteklendirme açısından son derece mühim bir durum teşkil etmiştir.

PisagORigami isimli projemizle geometri öğretiminde origamiden faydalanarak, farklı bir bakış açısı kazandırdık. Öğrenmede öğrenme ortamını istekli hale getirebilmek oluşmuş yada oluşabilecek önyargıları kırma açısından önemli bir unsurdur. Bu açıdan özellikle de görselleştirmenin çok önemli olduğu geometri öğretiminde origami ve benzeri faaliyetlerin fazlalığı bu önyargıları da kıracaktır. Yaptığımız bu projeyi diğer arkadaşlarımıza anlattığımızda oldukça iyi geri dönüşler almamız bu düşüncemizi desteklemektedir. Ayrıca sadece basit bir işlem olan kağıt katlayarak bazı geometrik ispatları yapmak oldukça keyifliydi.

Kaynaklar: Meb proje bankası (http://earged.meb.gov.tr) , internet : Geometri Öğretiminde Origami Kullanımı 1.Matematik Öğretiminde Çağdaş Yaklaşımlar Sempozyumu 6-9 Temmuz 2011 Program,Çalıştaylar ve Bildiri Özetleri (18-22), Kavici M,Tuğrul B. Kağıt katlama Sanatı Origami ve Öğrenme kongre.nigde.edu.tr/xufbmek/…/2298-28_05_2012-22_58_27.pdf , |tr&u=http://www.mathsisfun.com/pythagoras.html&ei=rcIIUbiZEomGhQfxy4CABA,Prof Dr. Mehmet TAGİYEV HAMİDOĞLU

ÖZEL MEF ORTAOKULU
ORTAKÖY MAH. DEREBOYU CAD. DEREİÇİ SOK. BEŞİKTAŞ/İSTANBUL
MATEMATİK – PISAGORIGAMI
İRİS ÖZKAYA
DOĞUŞ GÖKDEMİR

Fen Projesi / Matematik Projesi
Bu Benim Eserim Fen Bilimleri ve Matematik Projeleri Yarışması
Bilim Şenliği Projeleri