PETEKLERIN ÖRÜNTÜSÜ

Projenin Amacı :

8. sınıf Matematik Dersi müfredatında olan Sayı Örüntüleri konusundan yola çıkarak Bal peteklerindeki toplam altıgenlerin sayısını veren matematiksel bir sayı örüntüsü bulabilmek.

Projenin Hedefi :

Bir petekteki toplam altıgen sayısını bularak (Petekler; kesiti düzgün altıgenlerden oluşan prizma şeklindedir.) peteğin taşıyacağı maximum bal miktarını ve sonuçta arı kovanından çıkabilecek maximum bal miktarını bulabilmek.

Proje Özeti :

Kenar uzunluğu N=1 br, 2 br, 3 br, 4 br… 10 br’lik altıgenler izometrik kağıda çizilir.Kenar uzunluğu 2 br, 3 br,4 br… 10 br’lik altıgenler çizilirken 1 br’lik altıgen diğer altıgenleri ikiye ayıran simetri ekseninin (yani büyük altıgenin köşegen çizgisi) üzerinde olacak şekilde çizilir.Ve oluşan büyük altıgenlerin kenar uzunluğunun karesi büyük altıgenlerin içinde oluşabilecek kenar uzunluğu 1 br’lik altıgen sayısını verir. (Altıgenlerin kenar uzunluğuna N dersek; N=1, 2, 3, 4… 10 ise büyük altıgenlerin içindeki 1 br’lik altıgenlerin sayısı N2 dir.)

1 br’lik altıgenden başlanarak altıgenlerin çevresine altıgenleri içine alan minumum boyutta dikdörtgenler çizilerek petekler oluşturulur.Altıgenlerin çevresine çizilen kısımlara eksik kalan 1 br’lik altıgenlerin kalan kısımları çizilerek petekler tamamlanır.Altıgenlerin çevresine petek oluşturulmak için çizilen kısımlardaki üçgen, dörtgen, beşgen ve 1 br’lik altıgenler birleştirilip 1 br’lik altıgenlere dönüştürülürse sonradan çizilen kısımlarda toplam büyük altıgenin kenar uzunluğunun karesinin üçte biri kadar 1 br’lik altıgenler oluştuğu görülmektedir.

(N=1, 2, 3, 4… 10 ise sonradan çizilen kısımlarda oluşan 1 br’lik altıgen sayısı N2/3 tür.)

Dolayısıyla farklı boyuttaki peteklerde oluşan 1 br’lik altıgenlerin toplam sayısı

(N2 + N2/3) şeklinde bir sayı örüntüsü ile hesaplanabileceği görülmektedir.

Proje Çalışmaları Esnasında Gerçekleştirilen Faaliyetler :

İzometrik kağıt üzerine 1 br’lik altıgenden başlanarak kenar uzunluğu 2, 3, 4… 10 br’lik altıgene kadar çizildi ve petek modeli tamamlanarak büyük altıgenlerin kenar uzunluğu ile petekteki toplam 1 br’lik altıgen sayısı arasında bir ilişki kuruldu.

Kullanılan Yöntemler :

1 br’lik altıgenden başlanarak 10 br’lik altıgene kadar tüm altıgenler çizildi ve petek modeli oluşturuldu.Bu faaliyetler sırasında tümevarım yöntemi kullanıldı.

Ulaşılan Sonuçlar :

Kenar uzunlukları (k=1,2,3…) √3k ve 2k olan dikdörtgen şeklindeki bir peteğin içine çizilebilecek en büyük altıgenin köşegen uzunluğu dikdörtgenin uzun kenarına eşit olduğunu bulduk.

Çizilen en büyük altıgenin bir kenar uzunluğu ise dikdörtgenin uzun kenarının yarısına eşit olduğu sonucuna ulaştık.

Peteğin içine çizilen en büyük altıgenin bir kenarının uzunluğu ile petekteki toplam birim altıgen sayısı arasında bir ilişki olduğunu bulduk.

Sonuçların Değerlendirilmesi :

Bulduğumuz sonuca göre bir peteğin içine çizilebilecek en büyük altıgenin kenar uzunluğundan yararlanarak petekteki toplam altıgen sayısını buluruz.

Petekteki altıgenler 3 cm yüksekliğindeki prizmalar olduğu için hacimleri hesaplanarak bulduğumuz altıgen sayısı ile çarpılırsa o peteğin taşıyacağı maximum bal miktarı bulunur.

Kovanda kaç petek varsa bulunan miktar kovandaki petek sayısı ile çarpılırsa bir arı kovanından çıkabilecek maximum bal miktarı bulunabilir.

Bu sonuçta biz insalığa arıların ortaya çıkarılacak daha pek çok matematiksel zekalarının olduğunu gösteriyor.