Matematik Projesi – ÜÇ BOYUTLU ARDIŞIK ÇARPIMLAR

PROJE ADI: ÜÇ BOYUTLU ARDIŞIK ÇARPIMLAR

PROJE AMACI:

Ardışık sayıların çarpımından yararlanarak, kenarları ardışık sayı olan küplerin hacimlerinin hesaplanması ve sayı toplamlarının genel teriminin modellenmesi.

PROJE HEDEFLERİ:

Matematiksel bir ifadeyi 3 boyutlu şekillerle modellemek.

GİRİŞ:

Ardışık pozitif tam sayıları 1 den başlayarak kendisinden sonra gelen sayı ile çarparak çalışmama başladım. Elde ettiğim sonuçların ardışık üç sayının çarpımının üçte birine eşit olduğunu gördüm. Şöyleki;

1.2 = 2 = (1.2.3)/3

1.2+2.3 = 8 = (2.3.4)/3

1.2+2.3+3.4 = 20 = (3.4.5)/3

1.2+2.3+3.4+4.5 = 40 = (4.5.6)/3

Bu örüntüden yola çıkarak ifadeyi genel olarak, n pozitif bir tam sayı olmak üzere,

[1.2+2.3+3.4+4.5+…..+n(n+1)] = n(n+1)(n+2)/3

şeklinde düzenledim.

Daha sonra elde ettiğim bu eşitliğe ilişkin kaynak taraması yaptığımda bu dizi toplamının doğruluğunun tümevarım metodu ile ispatlandığını gördüm. Tümevarım metodu ile ispat yöntemini uygulamaya ve bu yöntemin nasıl kullanıldığını çalışmaya başladım. Ancak bu yönteme ilişkin, yöntemin uygulamasının bir o kadar kolay olmasına rağmen anlaşılmasının ve ispatın sonlandırılması aşamalarının bir o kadar da karmaşık bir hale dönüşebileceğini düşünmeye başladım. Zihnimde soyut kalan bir şeyler vardı. Bu problemden yola çıkarak elde edilen eşitliğe bir kez daha baktım. Eşitliği acaba başka nasıl düzenleyebileceğimi bulmaya çalıştım.

[1.2+2.3+3.4+4.5+…..+n(n+1)] = n(n+1)(n+2)/3

Eşitliğin her iki tarafını 3 ile çarparak

3[1.2+2.3+3.4+4.5+…..+n(n+1)] = n(n+1)(n+2)

şeklinde yazdım.

n(n+1)(n+2) şeklinde 3 ardışık sayının çarpımı bana hacim fikrini çağrıştırdı. Bu tespitten yola çıkarak kenarları ardışık sayı olan küpler oluşturdum.

Bu küpleri uygun şekilde bir araya getirdiğimde genel toplamı kolayca oluşturabildiğimi

gördüm. Şöyle ki,

3(1.2) =1.2.3 eşitliği 6 tane 1br3kullanılarak

3(1.2+2.3)=2.3.4 eşitliği 24 tane 1br3kullanılarak… (BKNZ. ŞEKİLLER LİSTESİ MODEL1)

Bu bize ardışık sayıların çarpımları ile elde edilen dizinin n tane teriminin toplamının hacim kullanılarak nasıl ifade edilebileceğini ve

3[1.2+2.3+3.4+4.5+…..+n(n+1)] = n(n+1)(n+2)

eşitliğinin doğruluğunun yine hacim bulma fikrine dayanılarak ispatlanabileceğini göstermiş olur.

KULLANILAN YÖNTEM

Modelleme, görsel ispat yöntemi, matematiksel genelleme

ÇALIŞMA TAKVİMİ

Proje , Konu belirleme, tespit etme,Proje konusuna karar verme ve proje adını belirleme, kaynak taraması, Proje uygulamasına başlama,Proje uygulamasını geliştirme,Proje uygulamasını sürdürme,Proje sonuçlarını derleme,Proje ve afiş tasarımını yürütme,Sunu hazırlama, sonuçlandırma başlıklarında çalışma takvimine bağlanarak yürütülmüştür.

BÜTÇE

Kırtasiye masrafı dışında projeye herhangi bir bütçe ayrılmamıştır.

SONUÇLAR/SONUÇLARIN DEĞERLENDİRİLMESİ (BKNZ. ŞEKİLLER LİSTESİ MODEL2)

Ardışık sayıların çarpımları ile elde edilen dizinin n tane teriminin toplamının hacim kullanılarak nasıl ifade edilebileceğini ve

3[1.2+2.3+3.4+4.5+…..+n(n+1)] = n(n+1)(n+2)

eşitliğinin doğruluğunun yine hacim bulma fikrine dayanılarak ispatlanabileceğini göstermiş olur.

Sonuç olarak bu proje ile matematiksel bir ifadenin hacim kullanılarak modellenmesinin bir matematiksel eşitliğin doğruluğunun soyut işlemlere gerek kalmadan nasıl kendi kendini gerçeklediği ortaya konmuştur.

Projemde ortaya koyduğum ispat yöntemi ile matematiğin bir bütün olarak kendi içinde nasıl bir tutarlılık gösterdiği sonucunu çıkarabiliriz. Projemin ardışık sayı toplamlarının hacim kavramı ile nasıl bütünleştiğinin güzel bir örneği olması bakımından diğer çalışmalardan ayrıldığını düşünmekteyim.

KAYNAKÇA

http://www.cut-the-knot.org/

Toker, Zerrin, MEB 7. Sınıf Matematik Kitabı, 2009, Semih Ofset

Çoklu Yazar, MEB 11. Sınıf Matematik Kitabı, 2012

İSTANBUL ATAŞEHİR
İstanbul Bilim ve Sanat Merkezi MERİÇ CD NO:6/2 ATAŞEHİR
MATEMATİK – ÜÇ BOYUTLU ARDIŞIK ÇARPIMLAR
ELİS AKTAN
DEMET KUZUBAŞIOĞLU

Fen Projesi / Matematik Projesi
Bu Benim Eserim Fen Bilimleri ve Matematik Projeleri Yarışması
Bilim Şenliği Projeleri

CEVAP VER

Lütfen yorumunuzu giriniz!
lütfen isminizi buraya girin