Matematik Projesi – TABLODAN ÜÇGEN SAYISINI BUL

Proje Adı: Tablodan Üçgen Sayısını Bul

Proje Amacı:

Üçgensel kâğıt üzerine çizdiğimiz bir eşkenar üçgen içerisindeki, bir birimlik, iki birimlik, 3 birimlik, ? vb., tüm eşkenar üçgenlerin sayısını ayrı ayrı bulmamızı sağlayacak bir tablo oluşturmak ve tablodaki sayılar arasındaki ilişkileri bulmak.

Üçgensel kâğıt üzerine çizilmiş bir eşkenar üçgen içerisindeki eşkenar üçgenlerin sayısını kolaylıkla nasıl bulabiliriz düşüncesinden yola çıkarak bu konuda araştırma yapmaya karar verdik. Kenar uzunluğu on birime kadar olan tüm eşkenar üçgenleri çizerek, bunların içerisindeki tüm eşkenar üçgenleri saydık. Yani, çizdiğimiz n birim kenarlı eşkenar üçgen içerisindeki a birim kenarlı eşkenar üçgenlerin sayısını ayrı ayrı çizerek ve sayarak bulduk.

Daha sonra bir tabloda, bulduğumuz bu sonuçları gösterdik. Tabloyu incelediğimizde,eşkenar üçgen sayıları arasında bazı örüntüler olduğunu ve bu örüntülerin üçgensel sayılarla (1,3,6,10,15,21,28,?) sonlandığını gördük. Tablodaki sayıları yukarıdan aşağıya doğru incelediğimizde, sayılar arasındaki farkın, bir önceki sayının kendisinden önce gelen sayı ile farkından 2 fazla olduğu tespit edildi. Ancak bu durum, üçgensel sayılara ulaştığımızda son bulmakta ve fark bundan sonra 1 artarak devam etmekte. Tablodaki sayıları yukarıdan aşağıya sağa doğru çapraz olarak incelediğimizde ise, sayılar arasındaki farkın, bir önceki sayının kendisinden önceki sayı ile farkından 1 eksik olduğu görüldü. Yine üçgensel sayılara ulaştıktan sonra bu örüntünün devam etmediği gözlemlendi. Diğer bir örüntü de, sayıları soldan sağa incelediğimizde, sayılar arasındaki farkın, bir önceki sayının kendisinden önceki sayı ile farkından 5 eksik olduğu görüldü. Yine üçgensel sayılara ulaştığımızda farklar 1 eksilerek devam etmekte. Tüm bu örüntülerden yararlanarak tablomuzu daha da genişletebildik. Kenar uzunluğu10 birimden fazla olan üçgenler içerisinde de, istediğimiz kenar uzunluğa sahip eşkenar üçgenlerin sayısını kolaylıkla bulabildik.

Ayrıca, üçgensel sayıların hangi durumlarda oluştuğunu yani n ile a arasındaki ilişkiyi bulmaya çalıştık.

n, üçgensel kağıda çizdiğimiz eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğu.

a, n birim kenarlı eşkenar üçgen içerisinde, kaç tane olduğunu aradığımız eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğu.

n>2.(n-a) veya 2a>n olduğunda eşkenar üçgenlerin sayısı {( n-a+1 )x(n-a+2)}: 2 olduğunu bulduk.

(2.a büyüktür n olduğunda, eşkenar üçgenlerin sayısı, n in a dan farkının bir fazlası ile n in a dan farkının iki fazlasının çarpımının yarısına eşit olduğunu bulduk.)

Proje takvimi:

Ekim: Proje konusuna karar verildi.

Kasım: Konu ile ilgili kaynak taraması yapıldı.

Aralık: Kullanılacak yönteme karar verilmesi ve çalışmaların yapılması.

Ocak: Proje hazırlık çalışmalarının tamamlanması.

Bütçe:75 TL.

Sonuç: Bu projemizde, üçgensel kâğıt üzerine çizilen n birim kenarlı bir eşkenar üçgen içerisinde istediğimiz a kenar uzunluğuna sahip eşkenar üçgenlerin sayısını kolaylıkla bulmamızı sağlayacak bir tablo oluşturuldu. Tablodaki sayılar arasında görülen bazı örüntülerden yararlanarak tablo daha da genişletildi. Ayrıca, eşkenar üçgenlerin sayısının bir üçgensel sayı (yani; 1,3,6,10,15,21,28,36?)olduğu durumlar için ise, n>2.(n-a) veya 2a>n koşulu ile eşkenar üçgenlerin sayısının {(n-a+1)x(n-a+2)}: 2 olduğu bulundu. (2.a büyüktür n olduğunda, eşkenar üçgenlerin sayısı, n in a dan farkının bir fazlası ile n in a dan farkının iki fazlasının çarpımının yarısına eşit olduğunu bulduk.)

Kaynaklar:

İstanbul Büyükşehir Belediyesi Akşemsettin Ortaokulu
BAŞAK MAHALLESİ 5.ETAP 1.KISIM BAŞAKŞEHİR-İSTANBUL
MATEMATİK – TABLODAN ÜÇGEN SAYISINI BUL
ZÜLAL GÖKTÜRK
AYLİN SEL

Fen Projesi / Matematik Projesi
Bu Benim Eserim Fen Bilimleri ve Matematik Projeleri Yarışması
Bilim Şenliği Projeleri