Matematik Projesi – PRIMITIF (İLKEL) PISAGOR ÜÇGENLERI ÜRETME

İSTANBUL ATAŞEHİR
İstanbul Bilim ve Sanat Merkezi MERİÇ CD NO:6/2 ATAŞEHİR
MATEMATİK – PRIMITIF (İLKEL) PISAGOR ÜÇGENLERI ÜRETME
EGE ÇOBAN
BAŞAK KÖK

Amaç

Primitif (İlkel) Pisagor Üçgenleri?ni (özel üçgenler) türetmek için daha farklı bir yöntem bulmak.

Giriş

Matematik projesi yapmak istiyordum, ne tür bir proje olacak, konusu ne olacak?Oldukça düşündüm. Daha sonra aklıma bir matematik konusu geldi. Özel üçgenler. Bunları türetmekle ilgili bir formül olup olmadığına baktım. Bazı formüller vardı ama çok karmaşıktı. Ben de bunun üzerine Pisagor üçgenindeki özel üçgenleri türetmek için bir formül geliştirmeye karar verdim. Pisagor teoremi, herhangi bir dik üçgende kenarlar arasındaki bağıntıya verilen addır. Bu bağıntıya göre, dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
Pisagor bağıntısında 90 derecenin karşısındaki kenara hipotenüs adı verilir. Hipotenüsün uzunluğunun karesi diğer dik kenarların karesine eşittir. Tüm bu kenarlar toplanır ve karekökü alınır yani sonuç bulunur. Eğer b, c dik kenarlı ve a hipotenüslü bir Pisagor üçgeninin b, c dik kenar uzunlukları aralarında asal ise o zaman bu Pisagor Üçgenine primitif (ilkel) Pisagor üçgeni denilmektedir (Darıyeri, 2006).

Yöntem

Öncelikle, ilk 7 ilkel Pisagor üçgenini tablo haline getirdim (resimlerde ekli) ve buradaki sayılar üzerinde düşünmeye başladım.

Daha sonra bu üçgenlerin nasıl bulunabileceğini keşfetmek üzere kenar uzunlukları arasındaki ilişkilere bakarak 2 formül geliştirdim ve bunları örneklerle açıkladım.

Daha sonra, tablo üzerindeki kenar uzunlukları arasındaki ilişkilere farklı yönlerden bakarak sonuçlar bölümünde tek tek ele alarak açıkladım.

Son olarak da belki bu özel üçgenlerin kenar uzunluklarını Pascal Üçgeni ile bağdaştırabilirim diye Pascal Üçgeni?ne baktım. Ancak bir sonuca varamadım. Sonra biraz düşününce aklıma geçen sene okulumuzdan bir arkadaşımın yaptığı proje aklıma geldi. Bu projede geliştirilen üçgende (Mısra Üçgeni) Pascal Üçgeni?nden farklı olarak yukarıdaki üç sayı toplanıp alta yazılıyordu. Bu üçgenle kendi projem arasında ilişki kurarak, ilkel Pisagor üçgen kenar uzunluklarını bu üçgende aramaya koyuldum.

Proje Bütçesi

Herhangi maddi bir harcama yapılmamıştır.

Çalışma Takvimi

15. 10. 2012- 22. 10. 2012 Proje Konusunun Ön Tartışmaları, Belirlenmesi ve Proje

Başlığına Karar Verilmesi

23. 10. 2012-30.10.2012 Aynı ya da Benzer Projelerin Olup Olmadığının Taranması

31. 10. 2012- 07.11.2012 Pisagor Üçgeni Ve Özel Üçgenler Hakkında Kaynak Tarama

07. 11. 2012- 14.11.2012 Taranan Kaynakların Düzenlenmesi

14.11.2012- 28.11.2012 İlkel Pisagor Üçlülerini Tablolaştırarak Yazarak Çeşitli Örüntülerin Aranması

28.11.2012-19.12.2012 İlkel Pisagor Üçlülerinin Sayıları arasındaki ilişkilerin incelenmesi

19.12.2012-02.01.2013 Pascal Üçgeni İle Arasında İlişki Kurulması ve Proje Raporunun Yazılması

02.01.2013- 16.01.2013 Projeye ve Rapora son şeklinin verilmesi

Sonuç ve Değerlendirme

İlkel Pisagor üçgeni üretmek için 2 formül geliştirdim. Birinci formülde kısa kenar n ise, ikinci kenar n?in karesini alıp 1 çıkarıyoruz ve 2?ye bölüyoruz, üçüncü kenar içinse 2. Kenar uzunluğuna 1 ekliyoruz.

Geliştirdiğim 2. Formülde ise: : Türeteceğimiz üçgenin kaçıncı üçgen olduğunu buluyoruz. Bulmak için öncelikle istediğimiz uzunlukta bir kısa kenar uzunluğu belirliyoruz. Belirlenen bu kısa kenar uzunluğu 2?ye bölüyoruz. Ama virgülden sonrasını saymıyoruz. Sonra bu sayıyı başlangıçta belirlediğimiz kısa kenar uzunluğuyla çarpıyoruz. Daha sonra çıkan sonuca 5 ekliyoruz. Çünkü 5. üçgen (3. üçgen olsa 3 eklememiz gerekir) Bu da bize ortanca kenarı veriyor. Çıkan sonuca 1 ekleyince de hipotenüse ulaşıyoruz.

Bir önceki şeklin ortanca kenarı ve hipotenüs uzunluğu arasındaki fark ile bir sonraki şeklin ortanca kenarı ve hipotenüs uzunluğu arasındaki farkların farkı arasında her zaman 4cm vardır.

Çapraz olan kenarlardaki uzunlukları toplatıp farklarına bakarak devam ettiğimizde fark her zaman 8cm çıkmaktadır.

Üçgenlerin kenar uzunlukları toplamı arasındaki farklara bakmaya devam ettiğimizde fark her zaman 8cm çıkmaktadır.

Üçgenlerin kenar uzunlukları arasındaki farklara baktığımızda kısa kenar uzunlukları arasında 2 cm, ortanca kenar uzunlukları farkları arasındaki fark arasında 4 cm, hipotenüs uzunlukları farkları arasındaki fark arasında 4 cm bulunmaktadır.

Her bir üçgeni kendi içinde değerlendirdiğimizde kısa kenarla ortanca kenar uzunlukları arasındaki farkların farkı her zaman 4 cm çıkmaktadır.

Pascal Üçgeni?nden farklı olarak Pascal üçgenindeki sayıları kullanarak yukarıdaki üç sayı toplanıp alta yazılarak oluşturulan üçgenin içinde bütün ilkel Pisagor üçgenlerin kısa ve ortanca kenarları var.

Bu proje ile hem ilkel Pisagor üçlülerini türetmek için bir yöntem geliştirmiş oldum hem de Pacal üçgenine farklı bir açıdan bakarak geometrik yorum getirmiş oldum.

Kaynakça

www.wikipedia.com

Mısra Üçgeni, Bu Benim Eserim Birincisi, 2012

Darıyeri, 2006.

Fen Projesi / Matematik Projesi
Bu Benim Eserim Fen Bilimleri ve Matematik Projeleri Yarışması
Bilim Şenliği Projeleri