Matematik Projesi – ORTAK HİPOTENÜSLÜ KARDEŞ ÜÇGENLER

Proje Adı: Ortak Hipotenüslü Kardeş Üçgenler

Proje Amacı: Bu projede amacım Matematiğe üçgenler konusunda yeni bir tanım
kazandırıp, adını Kardeş Dik Üçgenler koyduğum bu üçgenlerin birbirleriyle olan
matematiksel ilişkilerini araştırıp ortaya koymaktır.

Giriş: Dik üçgenler arasındaki bir çok bağıntı Pisagor Teoremine dayandırılmaktadır. Bu
projede de Pisagor Teoreminden yola çıkılarak yeni bir araştırma çalışması yapılmıştır.
Yapılan bu çalışmayla matematiğe yeni bir tanım katmak hedeflenmiştir.

Kullanılan Yöntem: Çemberler konusundan bildiğimiz gibi çapı gören çevre açılar doksan
derecedir ve çapı gören bir çevre açı çizdiğimiz zaman hipotenüsü çap uzunluğuna sahip
bir dik üçgen elde ederiz. Bu dik üçgenlerden çemberin içine sonsuz sayıda çizebiliriz. Bu
projede çizilebilen bu dik üçgenlerden kenarları tam sayı olanları araştırmaya karar verdim,
ve bunlara bir isim vererek projeme başladım.

Kardeş Dik Üçgenler: Aynı uzunlukta hipotenüse sahip, dik kenarları tam sayı olan
üçgenlere kardeş dik üçgenler denir.
Tanımdan da anlaşılacağı gibi çember içine çizilen ve çapı gören bütün çevre açılı üçgenler
kardeş üçgenler değildir. Kenarları tam sayı olanları araştırmamız bu proje için yeterli
olacaktır. Peki kenarları tam sayı olan üçgenleri nasıl bulabiliriz?

İki dik üçgen ele alalım, bir tanesinin dik kenar uzunlukları sırasıyla a ve b, diğerinin dik
kenar uzunlukları c ve d olsun. Bu dik üçgenler aynı hipotenüse sahip olduklarından Pisagor
teoreminden

a2 + b2 = c2 + d2

eşitliğini kullanabiliriz. Kardeş dik üçgenler tanımımıza uyması için a,b,c ve d yi doğal
sayılar kümesinden seçiyoruz. O halde a, b, c ve d ye vereceğimiz değerleri nasıl bulabiliriz.

Eşitlikte yer alan b2 ve d2 ifadelerinin yerlerini değiştirerek neler elde edeceğimizi
inceleyelim:

a2 – d2 = c2 – b2

İki kare farkı özelliğini bu eşitlikye uygulayarak neler olacağını görelim:

(a-d).(a+d)=(c-b).(c+b)

bu eşitlikten de gördüğümüz gibi iki farklı çarpana sahip bir tam sayı bulduğumuz takdirde
a, b, c, ve d için doğal sayı olan değerler seçebiliriz. Fakat bu öarpımların eşit olduğu tam
sayıyı nasıl seçmeliyiz?

Seçtiğimiz tam sayının çarpanları seçilirken ayrı ayrı hepsinin tek ya da hepsinin çift çarpan
olması gerekmektedir. Aksi takdirde bir çarpanı tek ve bir çarpanı çift olan bir sayı seçersek
a ve d sayılarının farkları tek(çift) toplamları çift(tek) olacaktır ki, böyle bir durum mümkün
değildir. O halde, seçeceğimiz sayının çarpanlarının ikisinin de tek ya da çift olması gerekir.

Buradan da anlaşılacağı gibi seçtiğimiz bu sayıyı Kardeş Dik Üçgenleri tanımlamada
kullanabiliriz. Bu sebeple bu sayıya Kardeşlik Katsayısı adını verdim.

Örneğin; kardeşlik katsayısı 15 olan Kardeş Dik Üçgenleri bulmamız istense dik kenarlarının
sırasıyla a=8 b=1 ve c=4 d=7 olduğunu hesaplayabiliriz.

Şimdi bir kaç farklı Kardeşlik Katsayısı seçerek incelemeler yapalım:

Kardeşlik katsayısı 15 ise: a=8 b=1, c=4 d=7 olmaktadır.

Kardeşlik katsayısı 21 ise: a=11 b=2, c=5 d=10 olmaktadır.

Kardeşlik katsayısı 24 ise: a=27 b=3, c=5 d=5 olmaktadır.

Kardeşlik katsayısı 27 ise: a=14 b=3, c=6 d=13 olmaktadır.

Kardeşlik katsayısı 32 ise: a=9 b=2, c=6 d=7 olmaktadır.

Kardeşlik katsayısı 33 ise: a=17 b=4, c=7 d=16 olmaktadır.

Kardeşlik katsayısı 35 ise: a=18 b=1, c=6 d=17 olmaktadır.

Kardeşlik katsayısı 40 ise: a=7 b=9, c=11 d=3 olmaktadır.

Kardeşlik katsayısı 45 ise: a=23 b=2, c=7 d=22 olmaktadır.

Kardeşlik katsayısı 48 ise: a=26 b=2, c=14 d=22 olmaktadır.

Kardeşlik katsayısı 51 ise: a=51 b=14, c=20 d=50 olmaktadır.

Bulduğumuz bu kardeş dik üçgenler arasında yaptığım incelemede gördüm ki, üçgenler belli
özelliklere sahiptir. Bu özellikleri şu şekilde özetledim:

1. Kapsama Özelliği:

Yukarıda oluşturulan kardeş dik üçgenlerin kenarlarına yakından bakıldığında da
görebileceğimiz üzere kardeş dik üçgenlerden birisinin kenar uzunlukları sayı doğrusu
üzerinde diğer kardeş dik üçgenin kenar uzunluklarını kapsar ya da onun tarafından kapsanır.
Örneğin; Kardeşlik katsayısı 40 olan Kardeş Dik Üçgenlerin kenar uzunluklarını incelersek
oluşturulan üçgenlerden birinin kenarları a=7, b=9 ve c=11, d=3 tür. Bu kenarların sayı
doğrusunda oluşturdukları aralıklardan (3,11) sayı aralığı yukarıda belirtildiği gibi (7,9) sayı
aralığını kapsamaktadır.

2. Kardeşlik Katsayısı Olabilme:
Kardeş dik üçgenleri oluştururken seçtiğimiz her sayının kardeşlik katsayısı tanımına
uymayacağını rahatça görebiliyoruz. Peki hangi sayılar kardeşlik katsayısı olabilmektedir?
1) Kardeşlik katsayıları asal olamaz. Bunun en önemli sebebi seçeceğimiz kardeşlik
katsayısının en az iki farklı şekilde çarpanlara ayrılabilmesi gerekmektedir. Ancak asal
sayılar tanımları gereği sadece bir şekilde çarpanlarına ayrılabilmektedir.
2) Kardeşlik katsayısı çift ise asal çarpanlarından 2 bu sayının içinde en az iki kez
bulunmalıdır. Ayrıca toplamda 2 asal çarpanı varsa çarpanlarının üstlerinin toplamı en az 5
olmalıdır.
3) Kardeşlik katsayısı tekse ve sadece 1 asal çarpanı varsa bu çarpandan en az 3 kere
bulunmalıdır.
3. Kardeşlik Katsayısına bakarak kaç adet Kardeş Dik Üçgen olduğunu bulma:
Kardeşlik katsayısıyla yaptığım incelemelerde gördüm ki: Kardeşlik katsayısının asal
çarpanları tekse ve bu çarpanların birinin üssü 1 ise, kardeş dik üçgen sayısı aşağıdaki gibi
olur.
Kardeşlik katsayısındaki tek asal çarpan sayısı 2 ise; kardeş dik üçgen sayısı 2 dir.
Kardeşlik katsayısındaki tek asal çarpan sayısı 3 ise; kardeş dik üçgen sayısı 4 tür.
Kardeşlik katsayısındaki tek asal çarpan sayısı 4 ise; kardeş dik üçgen sayısı 8 dir.
Kardeşlik katsayısındaki tek asal çarpan sayısı 5 ise; kardeş dik üçgen sayısı 16 dır.
Kardeşlik katsayısındaki tek asal çarpan sayısı 6 ise; kardeş dik üçgen sayısı 32 dir.
Yukarıdaki incelemeyi yapınca görüyoruz ki: Asal çarpan sayısı bir artarken kardeş dik
üçgen sayısı ikiye katlanmaktadır.
Aynı şekilde kardeşlik katsayısının çarpanları tekse ve bu çarpanlardan birisinin üssü 2,
diğerlerinin üssü 1 ise, kardeş dik üçgen sayısı aşağıdaki gibi olur.
Kardeşlik katsayısındaki tek asal çarpan sayısı 2 ise; kardeş dik üçgen sayısı 3 tür.
Kardeşlik katsayısındaki tek asal çarpan sayısı 3 ise; kardeş dik üçgen sayısı 6 dır.
Kardeşlik katsayısındaki tek asal çarpan sayısı 4 ise; kardeş dik üçgen sayısı 12 dir.
Kardeşlik katsayısındaki tek asal çarpan sayısı 5 ise; kardeş dik üçgen sayısı 24 tür.
Kardeşlik katsayısındaki tek asal çarpan sayısı 6 ise; kardeş dik üçgen sayısı 48 dir.
Yukarıdaki incelemeyi yapınca görüyoruz ki: Asal çarpan sayısı yine bir artarken kardeş dik
üçgen sayısı ikiye katlanmaktadır. Ancak ilk adımdaki incelenen kardeş dik üçgen sayısı bir
önceki incelememizden farklılık göstermektedir.
Eğer kardeşlik katsayısında iki farklı tek asal sayının üssü iki, diğer tek asal sayıların üssü 1
ise, kardeş dik üçgen sayısı aşağıdaki gibi olur:
Kardeşlik katsayısındaki tek asal çarpan sayısı 2 ise; kardeş dik üçgen sayısı 4 tür.
Kardeşlik katsayısındaki tek asal çarpan sayısı 3 ise; kardeş dik üçgen sayısı 9 dur.
Kardeşlik katsayısındaki tek asal çarpan sayısı 4 ise; kardeş dik üçgen sayısı 18 dir.
Kardeşlik katsayısındaki tek asal çarpan sayısı 5 ise; kardeş dik üçgen sayısı 36 dır.
Kardeşlik katsayısındaki tek asal çarpan sayısı 6 ise; kardeş dik üçgen sayısı 72 dir.

Yukarıdaki incelemeyi yapınca görüyoruz ki ilk adımda kardeş dik üçgen sayısı bir artarken
incelediğimiz diğer tablolardaki gibi kardeş dik üçgen sayısı 2 ye katlanmamakta iki katının
bir fazlası olmaktadır. İlk adım dışında tek asal çarpan sayısı 3 ve daha fazlası olduktan sonra
çarpan sayısı bir arttıkça kardeş dik üçgen sayısı incelediğimiz diğer örneklerdeki gibi 2 ye
katlanmaktadır. İlk adımda böyle bir değişiklik yaşanmasının sebebi de oluşturulan kardeşlik
katsayısının tam kare olmasıdır.
Bunun gibi incelemeler yapıldığı zaman görüyoruz ki kardeşlik katsayısıyla kardeş dik
üçgenler arasında önemli bir ilişki bulunmaktadır.
Proje bütçesi: Proje için bu aşamada bir masraf yapılmamıştır.
Proje çalışmasının takvimi: Kasım 2013: Danışman öğretmenimle beraber proje konusunu
belirledik.
Aralık 2013: Belirlediğim konu üzerinde çalışarak projem için
gerekli incelemeleri yaptım ve tanımladığım kardeş dik üçgenler için özellikler keşfettim.
Ocak 2013: Kardeş dik üçgenler için yaptığım araştırmalara
devam ettim ve danışman hocamın da yardımıyla projem için bir afiş ve proje başvuru
dökümanını hazırladım.
Sonuçlar ve sonuçların değerlendirilmesi:

Matematik dalında üçgenler konusunda yeni
bir tanım oluşturdum. Oluşturduğum bu tanımda kardeş dik üçgenlerin kenarları arasında
özellikler buldum. Ayrıca incelediğim kardeşlik katsayısının kardeş dik üçgenlerin sayısını
bulmakta çok etkili olduğunu keşfettim. Gördüm ki, matematikte sayılarla oynadıkça ve
derinlere indikçe her zaman yeni bir ilişki keşfedilebilmektedir.
Kaynaklar:
Aygün, S. Aynur, N. Coşkuntürk, N. Çuha, S. Karaman, U. Özçelik, U. ulubay, M. ve Ünsal,
N. (2011). Matematik 8 Ders Kitabı. Devlet Kitapları: 4. Basım
Aygün, S. Aynur, N. Çuha, S. Karaman, U. Özçelik, U. Ulubay, M. ve Ünsal, N. (2011).
Matematik 7 Ders Kitabı. Devlet Kitapları: 5. Basım

ÖZEL ASFA MUSTAFA ENVER ORTAOKULU
ÇİFTEKUMRULAR SOK.NO:12 FATİH-İSTANBUL
MATEMATİK – ORTAK HİPOTENÜSLÜ KARDEŞ ÜÇGENLER
YUSUF BURHAN ÖZTOP
ZÜBEYDE ÇAKAN

Fen Projesi / Matematik Projesi
Bu Benim Eserim Fen Bilimleri ve Matematik Projeleri Yarışması
Bilim Şenliği Projeleri