Projenin Adı: Ardışık Sayı Üçgeni
Projenin Amacı:
1) Ardışık sayma sayılarını kullanarak belirli bir örüntüyü sağlayacak şekilde değişik, özgün ve bir projeye dönüştürülebilir nitelikte bir bir üçgen
oluşturmak.
2) Bu üçgendeki sayılar arasındaki ilişkileri incelemek.
3) Bu ilişkileri matematiksel ifadelerle ortaya koymak.
4) Oluşturulan üçgenin özelliklerini incelemek.
Giriş:
Proje çalışmaya karar verdikten sonra literatür taramaya başladım. Daha önce yapılmış proje örneklerini ve popüler matematik kitaplarını
inceledim. Sayılarla aram daha iyi olduğu için bu konuda çalışmaya karar verdim. Basit, fakat özgün bir üçgen oluşturabileceğimi düşündüm
Sayıları ardışık olarak bir üçgen oluşturacak biçimde yazdım. Üçgenimi oluştururken
1) Üçgenimin başlangıç sayısını, sayma sayılarının da ilk elemanı olan 1 sayısı olarak belirledim.
2) Üçgenimin Pascal üçgeninin şeklinden farklı olması gerektiğini düşündüm. Bu nedenle 1 den sonra gelen ardışık sayma sayılarını art arda her
biri, bir üst satırdaki sayıların hizasına gelecek ve üçgen formunda olacak şekilde yerleştirdim.
3) Bu şekilde devam ederek sayma sayılarını üçgenime yerleştirdim.
Sonuç olarak üçgeni elde ettim.
1
1 2 3
4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15
………………………………………………
Üçgenimi oluşturduktan sonra sayı ilişkilerini incelemeye başladım ve aşağıdaki sonuçları elde ettim.
Kullanılan Yöntemler:Ardışık sayma sayılarını, art arda her biri, bir üst satırdaki sayıların hizasına gelecek ve üçgen formunda olacak biçimde
sıraladım. Üçgendeki sayı ilişkilerini inceleyip bazı genellemelere ulaştım. Bu süreçte
Model oluşturma
Verileri bilimsel gösterime hazır hale getirme
Matematiksel genellemelere varma
yöntemleri kullanılarak elde edilen sonuçları değerlendirdim.
Faaliyetlerin Takvimi:
01.11.2012 – 15.11.2012: Proje konusu belirleyebilmek için literatür taraması yapıldı.
15.11.2012 – 28.11.2012: Üzerinde çalışılacak konu belirlenerek üçgen oluşturuldu.
28.11.2012 – 12.12.2012: Üçgeni oluşturan sayılar, satır ve sütunlar arasındaki ilişkilerin belirlenmesi.
12.12.2012 – 19.12.2012: Elde edilen verilerden bir takım sonuçlara ulaşılması.
19.12.2012 – 02.01.2013: Sonuçların matematiksel ifadelerle yazılması ve değerlendirilmesi
02.01.2013 – 13.01.2013: Raporun tamamlanması.
Ulaşılan Sonuçlar:
1- Her satırın sonundaki terim, o satır sayısının karesine eşittir.
1. satırın sonundaki sayı: 1 = 1² (1 in karesi)
2. satırın sonundaki sayı: 4 = 2² (2 nin karesi)
3. satırın sonundaki sayı: 9 = 3² (3 ün karesi)
n Z+ olmak üzere satır sayısını n ile gösterirsek her satırın sonundaki terim n² dir.(n üzeri 2)
2- Satırlardaki terim sayısı 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19… şeklinde devam eder.
n Z+ olmak üzere satır sayısını n ile gösterirsek her satırda 2n-1 kadar terim vardır.
3- Satır ve sıra sayısı verildiğinde, herhangi bir satır ve sıradaki terimin (sayının) bulunması için aşağıdaki yol izlenmiş ve genel bir formül
oluşturulmuştur.
Her satırın sonundaki terim, o satır sayısının karesine eşittir. Dolayısıyla istenilen satırdaki son terim (sayı) hesaplanabilir. Ayrıca bu satırdaki terim
sayısı (yani sıra sayısı) da bulunabilir. Böylelikle o satırdaki son sayının, o satırın kaçıncı sırasında bulunduğu hesaplanmış olur. Bizden istenilen
sıradaki sayıyı bulmak için de aradaki fark kadar geriye gidilir.
Bizden istenilen satır sayısını n, sıra sayısını da a ile gösterirsek; (n,a)=?
İstenilen satırdaki son sayı n² (n üzeri 2)dir. Her satırda 2n-1 tane terim vardır, sıranın yerini tam olarak tespit edebilmek için satırdaki terim
sayısını verilen sıra sayısından çıkartmak gerekir:
n²-[(2n-1)-a] = n²-2n+a+1 ifadesi istenilen satır ve sıradaki sayıyı verir.
Örnek: Üçgenin 5. satırının 8. sırasında bulunan terimi(sayıyı) bulalım. (5,8)=?
Üçgenin 5. satırında bulunan son terim n²=52= 25 dir. (n üzeri 2= 5 üzeri2 =25)
Ayrıca 5. satırda 2n-1=2.5-1=9 tane sıra ( terim) vardır. Ve 25 sayısı bu satırın sonunda yer aldığı için 9. terimdir.
Bizden istenilen 8. sıradaki sayı olduğu için 9-8=1 farkını 25 den çıkararak
25-1=24 sayısını elde ederiz.
(5,8) = 24 tür.
4- Üçgende verilen alt alta iki satırda bulunan aynı sütundaki sayıların artış miktarı 2, 4, 6, 8, 10, 12? şeklinde devam eder. Bu fark, başlangıçta
alınan satır sayısının 2 katı şeklindedir.
Birinci satırdan ikinci satıra inerken alt alta olan sayıların arasında 3-1 = 2 fark vardır. 2=2.1
İkinci satırdan üçüncü satıra inerken alt alta olan sayıların arasında 6-2 = 7-3 = 8-4 = 4 fark vardır. 4= 2.2
Üçüncü satırdan dördüncü satıra inerken alt alta olan sayıların arasında 11-5 = 12-6 = 13-7= 14-8=15-9= 6 fark vardır. 6= 2.3
5- Bize verilen herhangi bir terimin (sayının), üstündeki veya altındaki sayının bulunması için aşağıdaki yol izlenmiş ve genel bir formül
oluşturulmuştur.
-Üçgende verilen bir sayının altındaki sayının ne olduğunun bulunması için şu yol izlenir:
Üçgende verilen herhangi bir sayının kaçıncı satırda olduğunu bulmak için bu sayının kendisinden büyük, en küçük tam kare sayıyı belirleriz. Bu
tam kare sayının karekökü bize verilen sayının satır numarasını verir. Ayrıca bu tam kare sayı bu satırdaki en son terimdir.
O zaman terimin kendisine t , ait olduğu satır sayısına da n dersek, terimin altındaki sayıyı t+2n formülüyle buluruz.
Örnek: Üçgende 12 sayısının altında olan terimi(sayıyı) bulalım:
12 den büyük, en küçük tam kare sayı = 16
16 nın karekökü = 4. Bu sayı 12 nin ait olduğu satır sayısıdır.
12 + 2.4 = 20 sayısı, üçgende 12 nin altında bulunan sayıdır.
-Üçgende verilen bir sayının üstündeki sayının ne olduğunun bulunması için:
Yukarıdaki yöntemi kullanarak seçtiğimiz sayının ait olduğu satırı buluruz ve bu sayının üstündeki terimin satır numarasını bulmak amacıyla satırın
sayısından 1 çıkartırız. Bu sayıyı 2 ile çarpar, sonra da ilk seçtiğimiz sayıdan çıkartırız.
Terimin kendisine t, ait olduğu satır sayısına da n dersek, t-2(n-1) = t-2n+2 formülüyle üçgende verilen bir sayının üstündeki sayıyı belirlemiş oluruz.
Örnek: Üçgende 14 sayısının üstünde olan terimi (sayıyı) bulalım:
14 den büyük en küçük tam kare sayı 16 dır.
16 nın karekökü = 4. Bu sayı 14 ün ait olduğu satır sayısıdır.
14 ? 2.4 + 2 = 8 sayısı, üçgende 14 ün üstünde bulunan sayıdır.
6-Orta sütundaki terimleri bulabilmek için satır sayısını bilmemiz yeterlidir. Satıra n dersek formülümüz n²-n+1 olur. (n üzeri 2 – n +1)
Örnek: 3. satırın ortasındaki sayıyı bulalım:
n²-n+1 = 3²- 3 + 1 = 7
7- Herhangi bir satırdaki sayıların toplamı, o satırdaki ortadaki sayı ile terim sayısının çarpımıdır. Satır sayısını n ile gösterirsek,
(n²-n+1).(2n-1) = 2n³-3n²+3n-1 eşitliğinden o satırdaki sayıların toplamını elde ederiz.
(n üzeri 2 -n +1).(2n-1)=2.n üzeri 3-3. n üzeri2 +3.n -1)
Örnek: Üçgende 4. satır=a bulunan sayıların toplamını bulalım:
2.4³- 3.4²+ 3.4 – 1 = 128 – 48 + 12 – 1 = 91 elde edilir.
Gerçektende 4. satırdaki sayılar 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 sayılarıdır ve bunların toplamı 10+11+12+13+14+15+16 = 91 dir.
8- Üçgende satırların sonundaki terimden başındaki terimi çıkarttığımızda şu diziyi elde ederiz:
1. satır: 1-1= 0
2. satır: 4-2 = 2
3. satır: 9-5= 4
4. satır: 16-10=6
5. satır: 25-17=8
6. satır: 36-26=10
O zaman satır sayısına n dersek satırın sonundaki terim ile başındaki terimin farkına 2n-2 olduğunu görürüz.
9- Her sayının altındaki sayı ile çarpımı o sütunda, o sayı kadar
aşağıdadır.
2×6 = 12 12 sayısı 2 sayısından başlarsak 2 adım aşağıdadır.
3×7 = 21 21 sayısı 3 sayısından başlarsak 3 adım aşağıdadır.
4×8 = 32 32 sayısı 4 sayısından başlarsak 4 adım aşağıdadır.
5×11 = 55 55 sayısı 5 sayısından başlarsak 5 adım aşağıdadır.
6×12 = 72 72 sayısı 6 sayısından başlarsak 6 adım aşağıdadır.
10- Üçgende her sütunda bir sayı seçerek aşağı doğru o sayı ve o sayının katları kadar ilerlediğimizde bulduğumuz terim, seçtiğimiz ilk sayıya tam
bölünen bir sayıdır.
Üçgende 2 sayısı ile başlayan sütunu yatay bir şekilde yazalım.
2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210?
Sonra da 2 teriminden başlayarak ve ikişer ikişer ilerleyerek terimleri inceleyelim:
2.1, 6, 2.6, 20, 2.15, 42, 2.28, 72, 2.45, 110, 2.66, 156, 2.91…
Kırmızı sayılar altıgensel sayıları verir:
1 6 15 28?
Üçgende 3 sayısı ile başlayan sütunu yatay bir şekilde yazalım.
1, 3, 7, 13, 21, 31, 43, 57, 73, 91, 111, 133, 157, 183, 211…
Sonra da 3 teriminden başlayarak ve üçer üçer ilerleyerek terimleri inceleyelim:
1, 3.1, 7, 13, 3.7, 31, 43, 3.19, 73, 91, 3.37, 133, 157, 3.61, 211…
Bu sefer kırmızı sayılar altıgensel bölge sayılarını (içi dolu) verir.
1 7 19 37?
Üçgende 4 sayısı ile başlayan sütunu yatay bir şekilde yazalım.
4, 8, 14, 22, 32, 44, 58, 74, 92, 112, 134, 158, 184, 212…
Sonra da 4 teriminden başlayarak ve dörder dörder ilerleyerek terimleri inceleyelim:
4.1, 8, 14, 22, 4.8, 44, 58, 74, 4.23, 112, 134, 158, 4.46, 212…
Kırmızı sayılar Ulam ın spiralinin aşağıda gösterilen kısmıdır.
Ölmeden bir yıl önce 1983 te Ulam, bilimsel bir konferansta çok uzun ve sıkıcı bir makale dinlemek zorunda kalmıştı. Bu süreyi karalamalar
yaparak geçirdi ve kendisini 1 den başlayıp saat yönünün tersine spiral olarak ardışık tamsayıları çiziktirirken buldu.
Paul Hoffman, Yalnızca Sayıları Seven Adam, Sistem Yayıncılık, 1998, Sayfa 99
11- Üçgende çift sayı ile başlayan satırları atlayarak tek sayı ile başlayan satırlardaki terimleri toplarsak altıgensel sayıların terimlerinin karesini buluruz:
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
1. altıgensel sayı = 1
1 = 1 in karesi
2. Altıgensel sayı = 6
(1) + (5+6+7+8+9) = 36 = 6 nın karesi
3. Altıgensel sayı = 15
(1) + (5+6+7+8+9) + (17+18+19+20+21+22+23+24+25) = 225 = 15 in karesi
Kaynaklar:
1- Paul Hoffman, Yalnızca Sayıları Seven Adam, Sistem Yayıncılık, 1998, Sayfa 99
2- Theoni Pappas, Daha Eğlenceli Matematik, Doruk Yayıncılık
İSTANBUL ATAŞEHİR
İstanbul Bilim ve Sanat Merkezi MERİÇ CD NO:6/2 ATAŞEHİR
MATEMATİK – MISRANIN ARDIŞIK SAYI ÜÇGENİ
MISRA TAŞÇI FATMA YUDUM
ÖZER AKYÜZ
Fen Projesi / Matematik Projesi
Bu Benim Eserim Fen Bilimleri ve Matematik Projeleri Yarışması
Bilim Şenliği Projeleri
