Matematik Projesi – KÜP TOPLAMLARININ KARESEL BÖLGELER İLE İSPATI

PROJE ADI: KÜP TOPLAMLARININ KARESEL BÖLGELER İLE İSPATI

PROJE AMACI:

Pozitif tam sayıların küplerinin toplamlarını, karesel bölgeler kullanılarak görsel ispatının yapılması

PROJE HEDEFLERİ:

Küp toplamlarını 2 boyutlu şekillerle modellemek

GİRİŞ:

Geçmiş yıllardaki matematik projelerini incelerken sayılar, sayı toplamları vb. ile ilgili olanlarında gözlemlediğim bir şey oldu. Sayılarla ilgili eşitlikler bulunmuş ve bırakılmıştı peki ya sonrası, bu eşitliklerin doğruluğu nasıl ispatlanmıştı?

Bu gözlemimden yola çıkarak ardışık sayılarla ilgili olan ve eğitim hayatımızda ilk karşılaştığımız 1+2+3+….+n sayı toplamı ile çalışmama başladım. Sonra , 1üzeri2+2üzeri2+3üzeri2+….+nüzeri2 ve ardından 1üzeri3+2üzeri3+3üzeri3+….+nüzeri3 sayı toplamlarına yoğunlaştım. Bu çalışmalarım sırasında benim

1üzeri3+2üzeri3+3üzeri3+….+nüzeri3 toplamı daha çok ilgimi çekti. Çünkü ,

1üzeri3=1=1üzeri2

1üzeri3+2üzeri3=9=3üzeri2

1üzeri3+2üzeri3+3üzeri3= 3üzeri6 = 6üzeri2

1üzeri3+2üzeri3+3üzeri3+4üzeri3=100=10üzeri2

Şeklinde ilerlerken,

3=1+2

6=1+2+3

10=1+2+3+4

olduğu dikkatimi çekti. O halde küpler ve kareler aynı sayılar temel alınarak bir biri türünden ifade edilebilirdi. Yani bir karenin içine bir küp yerleştirilebilirdi. Bu tespitim beni çok heyecanlandırdı ve küplerin açık hallerini incelemeye başladım. Kenarı 1birim olan küpten kenarı 2 birim olan küpe , kenarı 2 birim olan küpten kenarı 3birim olan küpe…şeklinde ilerledim. Her bir küpün açık halinin içine bir küçüğünü yerleştirmeye çalıştım.

Şöyleki,

1üzeri3için 1tane 1birimlik kare yani 1üzeri3=1üzeri2ve 2üzeri3için 8 tane 1birimlik kare, kenarı 3birimlik karenin içindedir yani 1üzeri3+2üzeri3=9=(1+2)üzeri2=3üzeri2.

1üzeri3için 1tane 1birimlik kare yani 1üzeri3=1üzeri2, 2üzeri3için 8 tane 1birimlik kare, 3üzeri3için 27 tane 1birimlik kare kenarı 6 birimlik karenin içindedir yani 1üzeri3+2üzeri3+3üzeri3=3üzeri6=(1+2+3)üzeri2=6üzeri2.

Burada açıklamaya çalıştığım işlemi n?Z+olmak üzere herhangi bir n pozitif tam sayısına kadar devam ettirirsek,

1üzeri3+2üzeri3+3üzeri3+….+nüzeri3=(1+2+3+4…+n)üzeri2 [SİSTEM KUVVET YAZILIMLARINI KABUL ETMEDİĞİ İÇİN ÜZERİ İFADESİ KULLANILMIŞTIR.]

eşitliği bulunur .

BÜTÇE

Kırtasiye masrafı dışında projeye herhangi bir bütçe ayrılmamıştır.

KULLANILAN YÖNTEM

Matematiksel düşünme metodu ve çıkarsama, tümevarım, modelleme ve matematiksel genellemelere varma.

ÇALIŞMA TAKVİMİ

Proje , Konu belirleme, tespit etme,Proje konusuna karar verme ve proje adını belirleme, kaynak taraması, Proje uygulamasına başlama

Proje uygulamasını geliştirme,Proje uygulamasını sürdürme,Proje uygulamasını sonlandırma,Proje sonuçlarını derleme,Proje ve afiş tasarımını yürütme

Projenin sonlandırılmaya hazırlanması,Sunu hazırlama, sonuçlandırma başlıklarında çalışma takvimine bağlanarak yürütülmüştür.

SONUÇLAR VE SONUÇLARIN DEĞERLENDİRİLMESİ

Modeldeki, karenin bir kenarı (1+2+3+4…+n) birimdir. Karenin alanı = (1+2+3+4…+n) x(1+2+3+4…+n) br2dir. (BKNZ. ŞEKİLLER LİSTESİ MODEL)

Bu proje ile hem küpler toplamının neye eşit olduğu hem de bu eşitliğin doğruluğunun ispatı yapılmış oldu. Yani küpler toplamının bir karenin içine yerleştirme temel düşüncesi, bir eşitliğin kendi kendini herhangi bir matematiksel işleme gerek kalmadan doğruladığının göstergesi olmuştur. Bu açıdan bakıldığında kare içine yerleştirme fikrinin, kendi içinde görsel bir ispatı barındırıyor olması projemi diğer projelerden ayıran en önemli noktadır.

KAYNAKÇA

· Edward Shlesinger, Buluş Nasıl Yapılır?,Tübitak Yayınları

· Ali Dönmez, Matematiğin Öyküsü ve Serüveni Serisi, Toplumsal Dönüşüm Yayınları

· Cemal Yıldırım, Matematiksel Düşünme, Remzi Kitapevi

.Toker, Zerrin, MEB 7. Sınıf Matematik Kitabı, 2009, Semih Ofset

· Çoklu Yazar, MEB 11. Sınıf Matematik Kitabı, 2012

İSTANBUL ATAŞEHİR
İstanbul Bilim ve Sanat Merkezi MERİÇ CD NO:6/2 ATAŞEHİR
MATEMATİK – KÜP TOPLAMLARININ KARESEL BÖLGELER İLE İSPATI
KEREM ÖZTÜRK
DEMET KUZUBAŞIOĞLU

Fen Projesi / Matematik Projesi
Bu Benim Eserim Fen Bilimleri ve Matematik Projeleri Yarışması
Bilim Şenliği Projeleri

CEVAP VER

Lütfen yorumunuzu giriniz!
lütfen isminizi buraya girin