Matematik Projesi – DOĞRUSAL DİZİLER

PROJE ADI:  Doğrusal Diziler

PROJE AMACI:

n tane noktadan geçen ve en az 2 noktası doğrusal olan noktalardan geçen doğru sayısını hesaplamak ve günlük yaşama aktarmaktır.
Bu amaç doğrultusunda yaşamımızı kolaylaştırabilecek bazı uygulamalar geliştirdik;
.Belirli sayıda verilen noktadan en az 2 noktası doğrusal olmak üzere kaç doğru çizilebileceğini bulmak,
.Şehirleri ve mahalleleri birbirine bağlamak için yol yapmak ve bireylarin ulaşım için harcadıkları maliyeti düşürmek, zamandan tasarruf yapmalarını sağlamak,
şeklinde sıralayabiliriz.

GİRİŞ

Ortaokul müfredatı içerisinde belirli sayıda doğrusal olmayan noktalardan kaç tane doğru çizilebileceğini içeren konu işlenmektedir.

Bu konu işlenirken neden doğrusal olmayan noktalar üzerinde çalışıyoruz diye düşündük, Eğer bu noktalar doğrusal olursa ne gibi sonuçlarla karşılaşırız sorusunu kendimize sorduk. Kalıcılığı arttırmak için ise günlük hayatla nasıl ilişki kurabiliriz sorusunun cevabını bulmak için çalışmalar yaptık. Aynı doğru üzerindeki nokta sayısı arttıkça doğrusal nokta sayısı ile çizilen doğrular arasında ilişki olduğunu fark ettik.

Doğrusal diziler adını verdiğimiz projemizin hedefleri arasında;
.Doğru kavramını kavratmak,
.Belirli sayıda verilen ve bazıları doğrusal olan noktadan kaç tane doğru çizilebileceğini hesaplamak,
.Yeni sayı dizileri oluşturmak,
.Bu çalışmamızı günlük hayata aktarmak,
şeklinde sıralayabiliriz.

YÖNTEM

Bu proje çalışmasında beyin fırtınası ve buluş yoluyla öğrenme yöntemleri kullanılmıştır. Çalışmalarımıza herhengi üçü doğrusal olmayan noktalar çizerek başladık.

Şekil 1 i inceleyiniz.

Şekil 1 de ardışık 3 ü doğrusal olmayan n tane komşu noktanın birleştirilmesi ile çokgen ve komşu olmayan noktaların birleştirilmesi ile de köşegenler oluşmuştur. n kenarlı bir çokgenin köşegen sayısını bulmak için

.                            n.(n-3)
.                                2

formülü kullanılmaktadır. O halde n kenar ve n.(n-3) tane köşegenin toplamı ile
.                                                                   2

.                           n + n.(n-3) = n²-n
.                                    2           2

formülü ile n tane ardışık 3 ü doğrusal olmayan noktalardan geçen doğru sayısını buluruz.

3 ü doğrusal olmayan tane noktadan geçen doğru sayısını gösteren tablomuzu oluşturalım.

————————————————-
3 ü doğrusal olmayan  Çizilen doğru  n²-n
Nokta Sayısı      |    sayısı            2
————————————————–
3             |            3
————————————————–
4             |            6
————————————————–
5             |            10
————————————————–
6             |            15
————————————————–
7             |            21
————————————————–
8             |            28
————————————————–

Tabloyu incelediğimizde çizilen doğru sayısı farklı yöntemle bulabileceğimizi bulduk.

———————————————————————-
3 ü doğrusal olmayan Çizilen doğru Sayısı  |       N Dizisi
Nokta Sayısı      |     N Formülü           |
———————————————————————–
3             |            3                 |1+2
———————————————————————–
4             |            6                 |1+2+3
———————————————————————–
5             |            10               |1+2+3+4
———————————————————————–
6             |            15               |1+2+3+4+5
———————————————————————–
7             |            21               |1+2+3+4+5+6
———————————————————————–
8             |            28               |1+2+3+4+5+6+7
———————————————————————–

Tabloyu incelediğimizde belirli sayıda doğrusal olmayan n tane noktadan geçen doğru sayısı 1 den başlayıp (n-1) e kadar olan sayılardan oluşan diziye N Dizisi adını verdik ve dizinin gösterimini N(n) elemanları toplamını da N[n] ile gösterdik.

N dizisi : N(n)=1,2,3,…,(n-1) dir.

Bu dizinin elemanları toplamı

N formülü : N[n]=1+2+3+…+(n-1)= n²-n   dir.
.                                                    2

N(3)=1,2                       N[3]=1+2=3
N(4)=1,2,3                    N[4]=1+2+3=6
N(5)=1,2,3,4                 N[5]=1+2+3+4=10

N(n)=1,2,3,…,(n-1)        N[n]=1+2+3+…+(n-1)

Eğer noktalarımızın bir kısmı doğrusal olursa ne gibi sonuçla karşılaşacağımızı görmek için Şekil 2?yi çizdik.

Şekil 2 yi inceleyiniz.

Bu şeklimizde doğrusal olmayan, üçü doğrusal olan, dördü doğrusal olan,  beşi doğrusal olan ve altısı doğrusal olan, noktaları birleştirdik. Bulduğumuz doğru sayılarını alt alta yazdığımızda bu sayıların belirli bir özelliğe göre sıralandığını gördük.

Şekil 3 yi inceleyiniz.

Tabloda N Formülü ile bulduğumuz doğrusal olmayan noktaları birleştiren doğru sayıları, eğer doğrusallık varsa düzenli olarak azalma göstermektedir. K Dizisi adını verdiğimiz dizimizin elemanları tane doğrusal nokta için -2 den başlayan ve birer birer (n-1) e kadar azalan sayılardan oluşmaktadır. Dizinin gösterimini K(k) elemanları toplamını da K[k] ile gösterdik.

K dizisi : K(k)=-2,-3,-4,…,-(k-1) dir.

Bu dizinin elemanları toplamı

K formülü : K[k]=-2-3-4-…-(k-1)= (k-2).(k+1)   dir.
.                                                        2

K(3)=-2                            K[3]=-2
K(4)=-2,-3                        K[4]=-2-3=-5
K(5)=-2,-3,-4                    K[5]=-2-3-4=-9

K(k)=-2,-3,-4,…,-(k-1)      K[k]=-2-3-4-…-(k-1) = (k-2).(k+1)
.                                                                              2

k tane doğrusal noktadan(k-2).(k+1) tane doğru eksik çizilir.
.                                          2

Tüm bu bilgileri birleştirdiğimizde doğrusal olmayan n tane noktadan
n²-n (N Formülü)
.  2
tane doğru çizilir, bu noktalardan k tanesi doğrusal ise
(k-2).(k+1)  (K Formülü) tane doğru eksik çizilir. Toplamda;
.      2

 n²-n – (k-2).(k+1)
.   2            2

tane doğru çizilir.

Bu yöntemi günlük hayatta şehirleri, mahalleleri birbirine bağlarken kullanabiliriz. Her mahalle veya şehri nokta olarak düşünüp bağlantı yollarını da doğru olarak düşünürsek, bireylerin istedikleri yerlere gitmek için fazla dolaşmadan kısa sürede gitmelerini sağlayabiliriz. Bu yöntemin bazı yararlı ve zararlı yönleri de bulunmaktadır. Şehirler veya mahalleler birbirine bağlanırken gerekenden fazla yol yapılacağından dolayı maliyet artarken, trafik sorunu çözüm bulacak, bireylerin ulaşım için harcadıkları maliyet ve zamandan büyük oranda tasarruf sağlayacaklardır.

Bunlar haricinde şehir planlarken alt yapı çalışmalarında, elektrik tesisatlarında, iş merkezlerinde ağ sistemleri oluşturmada kullanılabilecektir.

PROJE ÇALIŞMASININ TAKVİMİ:

Proje konusunun belirlenmesi:
08.10.2012 ? 19.10.2012

Kaynak toplanması ve toplanan bilgilerin değerlendirilmesi:
22.10.2012 ? 02.11.2012

Projenin amacı, hedefleri, yöntemi, uygulama adımları, sonuçların tamamlanması:
05.11.2012 ? 09.11.2012

PROJE  BÜTÇESİ : 0 TL

SONUÇ ve DEĞERLENDİRME

1) En genel haliyle doğrusal olmayan n tane noktadan çizilebilen doğru sayısı 1?den başlayıp (n-1) e kadar olan sayıların toplamı kadardır.

N[n]=1+2+3+…+(n-1)=n²-n  (N Formülü)
.                                                 2

Eğer bu noktalardan k tanesi doğrusal ise -2 den başlayıp birer birer azalarak (k-1) e kadar olan sayıların toplamı kadar doğru eksik çizilir.

K[k]=-2-3-4-…-(k-1) = (k-2).(k+1)  (K Formülü)
.                                                     2

Örnek 1: 4 ü doğrusal olan 8 noktadan kaç doğru çizilir?

N ve K dizisi ile sorunun çözümü
Doğrusal olmayan 8 noktadan çizilebilen doğru sayısı;
N[8]=1+2+3+4+5+6+7=28 dir.
Doğrusal 4 noktadan
K[4]=-2-3=-5 Yani 5 tane doğru eksik çizilir.
Sonuç olarak N[8]-K[4]=28-5=23 tane doğru çizilir.

N ve K formülü ile çözümü
Doğrusal olmayan 8 noktadan çizilebilen doğru sayısı;
N[8]=n²-n=
8²-8=28
.         2     2
Doğrusal 4 noktadan eksik çizilen doğru sayısı
K[8]=(k-2).(k+1)=(4-2).(4+1)=5
.              2                2
Sonuç olarak N[8]-K[4]=28-5=23 tane doğru çizilir.

Örnek 2: 7 nokta ile 16 doğru çizilebildiğine göre bu noktalardan kaç tanesi doğrusaldır?

N ve K dizisi ile sorunun çözümü
Tüm noktalar doğrusal olmasaydı;
N[7]=1+2+3+4+5+6=21
tane doğru çizilecekti. 16 doğru çizilebildiğine göre 5 tane eksik çizilmiştir.
-5=-2-3=K[4]
olduğuna göre 4 nokta doğrusaldır.

N ve K formülü ile çözümü
Tüm noktalar doğrusal olmasaydı;
N[7]=n²-n=7²-7=21
.         2     2

tane doğru çizilecekti. 16 doğru çizilebildiğine göre 5 tane eksik çizilmiştir.
K[k]= (k-2).(k+1)=5
.              2
Şartını sağlayan k=4 tür. O halde 4 nokta doğrusaldır.

KAYNAKLAR

Komisyon,2008, M.E.B. Matematik 8. Sınıf Ders Kitabı, Ankara

 

İSTANBUL ESENYURT
ÖZEL ESENKENT OKYANUS ORTAOKULU
TALATPAŞA CAD. YEŞİLIRMAK SOK. BAHÇEŞEHİR PAZARTÜRK KARŞISI NO:2 ESENKENT-ESENYURT/İSTANBUL
MATEMATİK – DOĞRUSAL DİZİLER
ECE BOZKURT
METE DOĞANAY

Fen Projesi / Matematik Projesi
Bu Benim Eserim Fen Bilimleri ve Matematik Projeleri Yarışması
Bilim Şenliği Projeleri