PROJE ADI:DÜZGÜN ALTIGENDE SPİDRONAL YAPILAR
PROJE AMACI:
Ülkemizde henüz çok bilinmeyen spidron yapıların matematiksel temellerini irdeleyerek , altıgen spidronu tüm geometrik özellikleriyle tanımak .
PROJE HEDEFLERİ;
Düzgün altıgenin spidronal yapısını tanımak.
Altıgen spidron yardımıyla tüm spidronlar hakkında bilgi edinmek.
Altıgen spidronların çevre ve alanlarını hesaplayan genel formüller bulmak.
Altıgen spidronların konveks,konkav ve diğer açılarını hesaplayan genel formüller bulmak ve bu formüllerin diğer spidronlarda geçerli olup olmadığını araştırmak.
Fraktalların ,altıgen spidronlarla ilişkisini alan hesaplarıyla ispat edebilmek.
Altın oranın altıgen spidronlarla olan ilişkisini araştırmak.
Simetri kavramının altıgen spidronlarda vazgeçilemez bir unsur olduğunu vurgulamak.
Spidronlar yardımıyla ,matematiğin mimarlik ve sanatla olan ilişkisini kavrayabilmek
Spidron yapıların ,mühendislik ve kimya bilimlerinde kullanabileceği alanları tespit etmek.
Altıgen spidronların düzlemi hiç boşluk bırakmadan sonsuza kadar döşeyebileceklerini göstermek.
PROJE ÖZETİ:
Spidron yapılar , matematiğin estetik yanını gösteren simetri,altın oran ve fraktal üçlüsünün buluşma noktası olduğu geometrik formlardır.Tüm düzgün çokgenler, spidron oluştururlar,. Spidron desenleri,matematik ve sanat hakkında bilgi edinmek için harika bir yoldur. Gerçekten de iki boyutlu spidronlara katlanılarak üç boyut kazandırılıyor , görsel ve sanatsal harika yapılar ortaya çıkarılıyor.
Spidron sistemi ilk olarak 1979 yılında Macar grafik sanatçısı Daniel Erdely modellemiştir.Matematiksel modeli ise Lajos Szilassi tarafından tanımlanmıştır. Spidronlar mozaik,kimya , malzeme bilimi ,kristaller ve yarı kristaller konuları için çok önemlidir.Mühendislikte ,araçlarda şok damperleri olarak kullanılır.Mimarlıkta ise ,yüzeyi ayarlanabilir akustik duvar ,çeşitli katlanabilen binalar ve statik yapılarda kullanılır.
PROJEMİZDE DÜZGÜN ALTIGENDEKİ SPİDRONAL YAPILARI İNCELEYECEĞİZ.
Altıgen Spidronlar , eşkenar ve ikizkenar (30 derece,30 derece,120 derece) üçgen dizilerinin ardışık olarak birbirine seri oluşturacak şekilde eklenerek oluşan geometrik yapılardır.Spidronların bazı çeşitlerinde ise matematiksel spiraller oluşturulmuştur.Bu spiraller ,altın oranla direkt ilişkilidir.İkizkenar üçgen,dik üçgen ,deltoit ve dikdörtgen dizilerinin ardışık olarak birbirine seri oluşturacak şekilde eklenmesiyle farklı görünüşte spidronlar oluşabilir.
Düzgün altıgen, kenar sayısına bağlı olarak altı spiral kola ayrılır.Spiral kollara yarım spidron adı verilir.Yarım spidronun alt taban uzunluğu düzgün altıgenin kenar uzunluğuna eşittir.İki yarım spidron birleşerek , bir tam spidronu oluştururlar.Yarım spidronlar birleşerek , S şeklinde sarmal oluşturuyorlarsa buna deniz atı spidronu denir.Deniz atı spidronu saat yönünde ve saat yönünün tersi yönünde olmak üzere iki çeşittir.Eğer, yarım spidronlar boynuza benzer şekilde alt tabanlarından birleşiyorsa buna da koç boynuzu spidron denir.
Yarım spidron+yarım spidron= 1 spidron
İki boyutlu bir düzlemde , altıgen spidronlarla mozaik yapmak mümkündür.
SPİDRON NASIL ÇİZİLİR?
1,ADIM:Bir tane düzgün altıgen çizelim.
2.adım:Düzgün altıgenin içine iki tane köşegenlerinden oluşan eşkenar üçgen çizelim.
3.adım:Sonra ortada oluşan altıgenin içine de tekrar tekrar aynı şekilde devam ettirelim.
Oluşan altıgenler sırasıyla birbirinin altın oranlısıdır.Altıgenin içinde altı spiral kolu yani yarım spidronları renklendirerek belirleyelim.
KULLANILAN YÖNTEMLER:Projemizde altıgen spidronu, bilinen yöntemlerle çizmedik.Spidronumuzu çizerken eşkenar üçgensel kağıtlar kullandık.Üçgensel kağıtlara çizmemizin en büyük avantajı ,spidronun uzunluk ölçülerini kolaylıkla hesaplayabilmek oldu..Spidronun konveks , konkav ve diğer açılarını iletki kullanmadan ölçebildik.Eğer düzgün altıgenimizin kenar uzunluğu 9 birim ve katları ise üçgensel kağıtlarda uzunlukları net bir şekilde görebilmemiz mümkün olmaktadır.Üçgensel kağıtlarda ,eşkenar üçgenlerin kenar uzunluklarını 1 birim ,üçgenin kenarlarından geçmeyen uzaklığı ise karekök 3 birim olarak gösterdik.Halbuki bilinen yöntemlerle , spidronu çizmeye çalışsaydık ,açı ve uzunluk ölçülerini bu kadar kolaylıkla göremeyecektik.Spidronu renkli üçgensel kağıtlara çizerek düzlemi sonsuz bir şekilde kaplayabileceğini gösterdik.Ayrıca sınıfta ,üçgensel geometri tahtalarını kullanarak renkli lastiklerle spidronu kolay bir şekilde gösterebildik.Kare spidronunda karesel kağıtlara kolaylıkla çizilebileceğini düşündük. Ama diger düzgün çokgen spidronları için bizim yöntemimizin uygun olmadığını gördük.Örneğin, beşgen spidron,yedigen spidron,sekizgen spidron.
PROJE BÜTÇESİ:50 TL
PROJENİN TAKVİMİ:
1-30 EKİM :Çalışılacak konunun tespiti,literatür taraması
1-30 KASIM:Spidron hakkında bilgi edinilmesi
1-31 ARALIK:Düzgün altıgen spidronları üçgensel kağıtlara çizmek ,açılarını , ve kenar uzunluklarını ölçmek,alan ve çevre hesaplamaları yapmak
1 -23 OCAK: Spidronları katlayarak, üç boyutlu estetik formlar ortaya çıkarmak, iki boyutlu düzlemi rengarenk spidronlarla kaplamak.
24OCAK-1 ŞUBAT:Projenin internet ortamında yazılması
ULAŞILAN SONUÇLAR:
1-)Altı tane yarım spidronun toplam alanı düzgün altıgenin alanını verir.
2-)1 tane yarım spidronun alanı altıgenin altıda biri olan aşkenar üçgenin alanına eşittir.
3-)2 tane yarım spidronun yani bir spidronun alanı aitıgenin üçte biri alanına eşittir.
4-)3 tane yarım spidronun alanı altıgenin alanının yarısına eşittir.
5-)4 tane yarım spidronun alanı yani 2 spidronun alanı altıgenin alanının üçte ikisine eşittir.
6-)Spidrondaki eşkenar ve ikizkenar üçgenlerin kenar uzunlukları merkeze doğru gidildikçe karekök üç kat azalır.
Örneğin,kenar uzunluğu 9 birim olan düzgün altıgenin yarım spidronunda bulunan ikizkenar üçgenlerin taban uzunlukları sırasıyla 9 birim, 3x karekök 3 birim, 3 birim, karekök 3 birim,1 birim,karekök3/3,
Eşkenar üçgenlerin de kenar uzunlukları merkeze doğru gidildikçe , karekök üç kat azalır.
7-)Koç boynuzu spidronunda doğruya göre simetri vardır.
8-)Altıgen spidron düzlemi sonsuz bir şekilde kaplar.
9-)Düzgün çokgenler kenar sayılarına bağlı olarak spiral kollara (yarım spidronlara) ayrılırlar.Örneğin,düzgün altıgen 6 spiral kola , düzgün beşgen 5 spiral kola ayrılır.
10-) Altıgen spidronun konkav açısı ( iç bukey) 150 derece ,konveks açısı (dış bukey) 210 derecedir.n kenar sayısını göstermek üzere ,tüm spidronların iç bukey açısı 180x(n-1)/n formülüyle hesaplanır.Aynı şekilde dış bukey açısı 180x(n+1)/n formülüyle hesaplanır.Örneğin kare spidronun iç bukey açısı =180x(4-1)/4=135 derece,dış bukey açısı =180x(4+1)/4=225 derece bulunur.
11-) Tüm spidronlarda iç bukey açı ile dış bukey açının toplamı 360 derecedir.Örneğin altıgen spidronda 150 derece+210 derece=360 derece bulunur.
12-)Altıgen yarım spidronun en küçük açısı 30 derecedir. n, düzgün çokgenlerin kenar sayısını göstermek üzere , 180 /n formülüyle bütün düzgün çokgenlerin yarım spidronlarının en küçük açısı bulunur.Örneğin ,kare yarım spidronun en küçük açısı 180/4=45 derecedir.
13-)Kenar uzunluğu s birim olan bir düzgün altıgeni ele alalım .
Yarım spidronun ilk iki üçgeni ( ikizkenar üçgen ve eşkenar üçgen ) birlikte dik üçgen oluştururlar.Dik üçgenin dik kenarlarından biri altıgenin kenar uzunluğuna yani s birime eşittir.
Dik üçgenin diğer dik kenarının uzunluğu ise ,tan 30 derece ile s birimin çarpılmasıyla elde edilir.
yarım spidronun ilk dik üçgeninin alanı =(s^2 xtan 30) /2 formülüyle bulunur.
ÖrneK 1 :Kenar uzunluğu 9 br olan düzgün altıgende oluşan yarım spidrondaki dik üçgenlerin alanları sırasıyla (27xkarekök 3)/2 , (9xkarekök 3)/2, (3xkarekök 3)/2, (1X karekök 3)/2,?..birimkare olarak devam eder.Dik üçgenlerin alanlarının 3 kat azalarak devam ettiğini görürüz.
ÖRNEK 2:Kenar uzunluğu 9 br olan düzgün altıgende deltoit dizilerinin ardışık olarak sıralanmasıyla spidron oluşmuştur.Deltoitlerin alanları sırasıyla 27xkarekök 3 , 9x karekök 3, 3xkarekök 3, 1x karekök 3?..birimkare olarak devam eder.Deltoitlerin alanlarının da 3 kat azalarak devam ettiğini görürüz.
14-)Spidronlar fraktallaşan yapılar olduklarından çevre uzunlukları yaklaşık olarak bulunur.
YARIM SPİDRONUN VE SPİDRONUN ÇEVRE UZUNLUKLARININ HESAPLANMASI:
Düzgün altıgenin bir kenar uzunluğu s birim olsun.Spidronun çevresindeki eşkenar ve ikizkenar üçgenlerin kenar uzunluklarının toplamı sırasıyla En= b1+b2+b3+..+bn, İn= a1+a2+a3+..+ an olmak üzere,
n.adımda,
En=b1+b2+b3+?????..+bn =( s/karekök 3)+(s/3)+(s/karekök 3)+??.+s/(karekök 3)^n)
İn=a1+a2+a3+???.. + an = (s/karekök 3)+(s/3)+(s/karekök 3)+??.+s/(karekök 3)^n)
En=İn olduğundan,
n.adımda,
yarım spidronun çevre uzunluğu= s+2. (s/karekök 3)+(s/3)+(s/karekök 3)+??.+s/(karekök 3)^n)
spidronun çevre uzunluğu=4. (s/karekök 3)+(s/3)+(s/karekök 3)+??.+s/(karekök 3)^n) bulunur.
Örnek : Düzgün altıgenin kenar uzunluğu 9 birim ise ,yarım spidronunun çevresini hesaplayalım.
S= 9 br,
Ç (YARIM SPİDRON)= 9+2x(3xkarekök 3+ 3 + karekök 3 + 1 + ?..)
Yaklaşık olarak , Ç (YARIM SPİDRON)=17+(8x karekök 3) br bulunur.
İki spidron tabanlarından birleşerek, bir spirdon oluşturdukları için s uzunluğunu toplama katmıyoruz.
Ç(SPİDRON)=4x(3xkarekök 3+ 3 + karekök 3 + 1 + ?..)=
Ç(SPİDRON)=16X(karekök 3+1) br olarak bulunur
15-) YARIM SPİDRONUN ALANININ HESAPLANMASI
An, ikizkenar üçgenlerin ( 30,30,120 derece) toplam alanını ,Bn eşkenar üçgenlerin toplam alanını göstermek üzere, A=2.(A1+B1+A2+B2+A3+B3+??.+An+Bn)
Yarım spidrondaki eşkenar üçgenlerin toplam alanı ikizkenar üçgenlerin toplam alanına eşittir. A(An)= A(Bn)
n.adımda
A (yarım spidron) =2.(A1+A2+A3+??+An)
A (yarım spidron) =2.(A1+ (A1)/3 + (A1)/ 9 + (A1)/ 27+ (A1)/81+?+(A1)/ 3^n)
formülü ile hesaplanır. Çıkan sonuç düzgün altıgenin alanının altıda birine eşittir.
Spidronun alanı ise,
n. adımda A spidron=4.(A1+ (A1)/3 + (A1)/ 9 + (A1)/ 27+ (A1)/ 81+ ?+(A1)/ 3^n)
formülü ile hesaplanır.Çıkan sonuç altıgenin alanının üçte birine eşittir.Görüldüğü gibi ikizkenar ve eşkenar üçgenler adımlar arttıkça giderek küçülen ölçeklerde yinelenir ve bu durum sonsuza kadar sürer.Bu yüzden spidronlar fraktal yapılardır.
16-)Düzgün çokgenlerde kenar sayısı 5 ve 5 ten fazla ise oluşan yarım spidronların taban uzunluğu çokgenin kenar uzunluğuna eşittir.Kenar sayıları 5 ten küçük olan eşkenar üçgen ve karede yarım spidronların taban uzunluğu çokgenin kenar uzunluğunun yarısına eşittir.
SONUÇLARIN DEĞERLENDİRİLMESİ:
Projemiz düzgün çokgenler,dik üçgenler,açılar,trigonometri.üslü sayılar,kareköklü sayılar ,fraktallar,spiraller,eşlik,benzerlik,altın oran,simetri konularını çok zevkli bir şekilde öğrenmemizi sağladı.
DESTEK ALINAN KİŞİ VE KURUMLAR:
Projemizi yaparken matematik öğretmenimiz RENGİN GÜLBAY dan yardım aldık.Projemiz sayesinde ,özellikle spidronun çevre ve alan hesaplamalarında trigonometri ve kareköklü sayılarla işlem yapılabildiği için ( 6. sınıfta olmamıza rağmen) 8. Sınıf konularını da çok iyi anlamış ,matematiğimizi daha da geliştirmiş olduk.
PROJE KONUSU İLE İLGİLİ LİTERATÜR (KAYNAK) TARAMASI:
Spidrons
Stefan Stenzhorn April 2009
Erdely,D. Spidron Workbook
http://www.szinhaz.hu/edan/SpidronWorkBook/
EN.pdf
Kuleli Ortaokulu
Yıldırım Beyazıt Cad.No:3 Yenibosna-BAHÇELİEVLER
MATEMATİK – DÜZGÜN ALTIGENDE SPİDRONAL YAPILAR
TAHA KAHRAMAN YUNUS EMRE YENİDERE
DURİYE RENGİN GÜLBAY
Fen Projesi / Matematik Projesi
Bu Benim Eserim Fen Bilimleri ve Matematik Projeleri Yarışması
Bilim Şenliği Projeleri
