Projenin Amacı: Bir doğal sayının faktöriyelini hesaplayabilme.
Projenin Hedefleri: Doğal sayıların faktöriyellerinin hesaplanmasında farklı bir yöntem geliştirmek.
Giriş:
www.matematikdunyasi.org adresine ve alt sayfalarına 10.10.213 tarihinde erişim sağlandı.
www.matematiktutkusu.com/adresine ve alt sayfalarına 12.10.213 tarihinde erişim sağlandı.
www.matematikkoyu.orgadresine ve alt sayfarına 13.10.213 tarihinde erişim sağlandı.
www.matokulu.comadresine ve alt sayfarına 20.10.213 tarihinde erişim sağlandı.
ve alt sayfalarına 22.10.213 tarihinde erişim sağlandı.
www.cebirsel.com/adresine ve alt sayfalarına 22.10.213 tarihinde erişim sağlandı.
www.matematikcifatih.com/adresine ev alt sayfalarına 23.10.213 tarihinde erişim sağlandı.
www.ekolhoca.comadresine ve alt sayfalarına 24.10.213 tarihinde erişim sağlandı.
Literatür taramasında yukarıda ki sitelerin ana sayfalarını ve alt sayfalarını inceledik.doğal sayıların faktöriyeli bulunurken 1 den başlayarak sayının kendisine kadar olan sayıların çarpımıyla bulunduğunu başka bir yöntemin olmadığını gördük. Proje bankasında yaptığımız araştırmalarda faktöriyel hesaplama yöntemiyle ilgili yapılan çalışmaları ve bölge sergilerine katılan çalışmalarıda inceledik Faktöriyel Hesaplamada Fiba Yöntemi adını verdiğimiz bu yeni yöntemin klasik yöntemlerden farklı olduğu gördük. Bu nedenle projeyi yapmaya başladık.Bu çalışmamızı yaparken gaus yönteminden faydalandık.
Gaus yöntemi:
Bir başka meşhur hikâyeye göre, Gauss’un ilkokul öğretmeni J.G. Büttner, öğrencilerini oyalamak için 1’den 100’e kadar olan sayıları toplamalarını isteyince, Gauss cevabı birkaç saniye içinde bularak hem öğretmenini, hem de asistanı Martin Bertels’i hayrete düşürdü. Küçük Gauss, sayı listesinin iki zıt ucundan birer sayı alıp topladığında hep aynı sonucun çıktığını farketmişti: (1 + 100) = (2 + 99) = (3 + 98) = … = (51 + 50) = 101, vs. Böylece 1’den 100’e kadar olan sayıların toplamı 50 × 101 = 5050 olduğunu bulmuştur. ve bu yönteme gaus yöntemi denilmiştir.bu yöntemin doğal sayıların faktöriyellerini bulurkende işe yarayabileceğini düşünerek bu projeye başladık.projeyi hazırlarken matematik öğretmenimiz Mehmet Güven’den destek aldık.
FAKTÖRİYEL NEDİR?
Faktöriyel, matematikte, sağına ünlem işareti konulmuş sayıya verilen isim, daha genel olan Gamma Fonksiyonu’nun tam sayılarla sınırlanmış özel bir durumudur.1’den başlayarak belirli bir sayma sayısına kadar olan sayıların çarpımına o sayının faktöriyeli denir. ( ! ) sembolü ile gösterilir.örneğin n! demek 1’den n’e kadar olan sayılarının yan yana yazılıp çarpımı demektir. 5! demek,5 faktöriyel demek bu da 1’den 5’e kadar sayıların yan yana yazılıp çarpılmasıdır.
3!= 3 faktöriyel ve ya 3′ ün faktöriyeli
8!=8 faktöriyel ve ya 8 `in faktöriyeli
n!= n faktöriyel ve ya n’in faktöriyeli şeklinde okunur.
Örnek olarak; şunları gösterebiliriz.
1!=1
2!=1.2=2
3!=1.2.3=6
4!=1.2.3.4=24
5!=1.2.3.4.5=120
6!=1.2.3.4.5.6=720
7!=1.2.3.4.5.6.7=540
8!=1.2.3.4.5.6.7.8= 40 320
9!=1.2.3.4.5.6.7.8.9=362 880
10!=1.2.3.4.5.6.7.8.9.10=3 628 800
.
.
.
n!=1.2.3.4.5….(n-2).(n-1).n gösterilebilir. Sıfır pozitif bir sayı olmamasına rağmen faktöriyeli tanım olarak bire eşittir. 0!=1
Kullanılan yöntem: 2! = 1.2 ve ya 2.1 şeklindedir, biz iki sonucuda yazıp çarpalım.Çarpmayı yaparken aynı sütünda bulunanları birbiriyle çarpıp, çarpımda aynı sütünun altına yazalım.
1.2
2.1
x_____
2.2
3! = 1.2.3 ve ya 3.2.1 dir, bu iki sonucu alt alta yazıp çarpalım.
1.2.3
3.2.1
x______
3.4.3
4!=1.2.3.4 ve ya 4.3.2.1 dir, bu iki sonucu alt alta yazıp çarpalım.
1.2.3.4
4.3.2.1
x______
4.6.6.4
5!= 1.2.3.4.5 ve ya 5.4.3.2.1 dir, bu iki sonucu alt alta yazıp çarpalım.
1.2.3.4.5
5.4.3.2.1
x______
5.8.9.8.5
6!=1.2.3.4.5.6 ve ya 6.5.4.3.2.1 dir, bu sonuçlar alt altayazıp çarpalım.
1.2.3.4.5.6
6.5.4.3.2.1
x_______
6.10.12.12.10.6
7!=1.2.3.4.5.6.7 veya 7.6.5.4.3.2.1 dir, bunları alt alta yazıp çarpalım.
1.2.3.4.5.6.7
7.6.5.4.3.2.1
x________
7.12.15.16.15.12.7
8!=1.2.3.4.5.6.7.8 veya 8.7.6.5.4.3.2.1 dir bunları alt alta yazı çarpalım.
1.2.3.4.5.6.7.8
8.7.6.5.4.3.2.1
x________
8.14.18.20.20.18.14.8
9! İçin aynı işemleri yapalım:
1.2.3.4.5.6.7.8.9
9.8.7.6.5.4.3.2.1
x_________
9.16.21.24.25.24.21.16.9
10! İçin aynı işlemler yapılırsa:
1.2.3.4.5.6.7.8.9.10
10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
x_________
10.18.24.28.30.30.28.24.18.10
11! İçin aynı işlemler yapılırsa:
1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11
11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
x__________
11.20.27.32.35.36.35.32.27.20.11
12! İçin aynı işlemler yapılırsa:
1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12
12.11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
x__________
12.22.30.36.40.42.42.40.36.30.22.12
Bu işlemlerden daha fazla yaptık ama şuan yazmayacağız.
Şimdi elde ettiğimiz sayıları yazalım ve inceleyelim:
2.2
3.4.3
4.6.6.4
5.8.9.8.5
6.10.12.12.10.6
7.12.15.16.15.12.7
8.14.18.20.2018.14.8
9.16.21.24.25.24.21.16.9
10.18.24.28.30.30.28.24.18.10
11.20.27.32.35.36.35.32.27.20.11
.
.
.
Çift sayıların faktöriyellerinin incelenmesi:
4! De oluşan sayılar 4.6.6.4 sol baştan itibaren ortadaki sayıya kadar ve ortadaki sayıda dahil olmak üzere sayılar çarpıldığında 4! İşleminin sonucuna ulaşıldı.
Yani 4!=4.6 =24 tür.
6! De oluşan sayılar 6.10.12.12.10.6 ortaya kadar olan sayılar çarpılırsa,
6!=6.10.12 =720 olur.
8! De oluşan sayılar 8.14.18.20.2018.14.8 ortaya kadar olan sayılar çarpılırsa,
8!=8.14.18.20 =40 320 eder.
Tek sayıların faktöriyellerinin incelenmesi :
3! De oluşan sayılarda 3.4.3 soldan ortadaki sayıya kadar olan sayıların çarpımı ile ortadaki sayının karekökünün çarpımı o sayının faktöriyel işleminin sonucuna ulaşıldı.
3!=3.?4 =6 bulunur.
5! De oluşan sayılar incelendiğinde 5.8.9.8.5 ortadaki sayıya kadar sayılar ile ortadaki sayının karekökünü çarpılırsa,
5!=5.8.?9 =120 bulunur.
7! De oluşan sayılar 7.12.15.16.15.12.7 ortadaki sayıya kadar sayılar ile ortadaki sayının karekökünü çarpılırsa,
7!= 7.12.15.?16 = 540 bulunur.
9! De oluşan sayılar 9.16.21.24.25.24.21.16.9 ortadaki sayıya kadar sayılar ile ortadaki sayının karekökünü çarpılırsa,
9!=9.16.21.24.?25 =362 880 bulunur.
Ayrıca bu sayılarda birde örüntü oluşmaktadır.
1-Tek sayıların faktöriyellerindeki örüntü:
3! De oluşan sayılar 3.4.3 yani burada 3 ten önce gelen tek sayı 1 ile 3 toplanıp diğer sayı elde edilmiş tepe noktasından sonra 1 çıkmış dizi devam etmiş.
3 4 3
V V
1 1
5! De oluşan sayılar 5.8.9.8.5
5 den önceki tek sayılar sırasıyla 3 ve 1 dir.
5 8 9 8 5
V V V V
+ 3 +1 -1 -3
Bunları düzgün yazamadığımız için tahtada yazıp resmini de aşağıda ekldik.
2- Çift sayıların faktöriyellerinde oluşan örüntü :
6! de oluşan sayılar 6.10.12.12.10.6
6 dan önceki çift sayılar 4,2,0 dır. İlk önce toplanarak gitmiş ortadan sonra çıkarılar gitmiş ayrıca çift sayılarda ordada birbirinin aynısı olan iki adet sayı bulunmaktadır.
6 10 12 12 10 6
V V V V V
+4 +2 0 -2 -4
Başka örneklerde de geçerlidir.
Sonuçların Değerlendirilmesi: yukarıdaki örüntüyü kullanarak çarpımdaki sayıları oluşturabiliriz.
Örnek 16! inceleyelim,
16! de oluşacak sayıları bulabilmek için önce 16 dan önceki çift sayıları yazmam gerekiyor.bu sayılar 14,12,10,8,6,4,2,dır. (Biz orta bölüme kadar bulacağımız için sıfırı yazmadık )Ve şimdi oluşacak sayıları belirliyorum.
16 30 42 52 60 66 70 72
V V V V V V V
+14 +12 +10 + 8 +6 +4 +2
Orta bölüme kadar sayılar oluşturuldu gerisi faktöriyeli hesaplamada lazım değil.
Bu oluşan sayıların çarpımı 16! e eşit.
16!= 16.30.42.52.60.66.70.72 =2 092 278 988 800 dür.
Bir örnekte tek sayıların faktöriyelleriyle ilgili verirsek
21! De oluaşacak sayıları bulup 21 faktöriyeli hesaplayalım.
21 den geriye doğru tek sayıları yazalım 19,17,15,13,11,9,7,5,3,1 şimdide oluşacak sayıları verelim.
21 40 57 72 85 96 105 112 117 120 121
V V V V V V V V V V
+19 + 17 +15 +13 +11 + 9 +7 +5 +3 + 1
Yukarıda oluşan sayılarıortadaki sayı yani en sağdaki syının kareköküyle çarptığımıda 21! İn sonucuna ulaşırız.
21!=21.40.57.72.85.96.105.112.117.120. ?121= 51 090 942 171 709 440 000 sayısını elde ederiz.
Proje Bütcesi: 0 TL
Proje çalışmasının takvimi:
7 Ekim-28 Ekim 2013-Literatür taraması
29 Ekim-30 Kasım 2013-Projenin uygulanması
01 Aralık-31 Aralık 2013 Projenin geliştirilmesi
01 Ocak-10 Ocak 2014-Projenin internet formatına uygun olarak hazırlanması
10 Ocak-17 Ocak 2014-Projenin Bu Benim Eserim Proje Yarışmasına Başvuru İşlemlerinin Yapılması
Sonuçların Değerlendirilmesi:
n>1olmak üzere n! için
a1=1.n-1.0
a2=2.n-2.1
a3=3.n-3.2
a4=4.n-4.3
a5=5.n-5.4
.
.
.
ab =b.n-b.(b-1) olmak üzere
n çift ise:
n!=a1,a2,a3,…,a ((n+1)/2)
n tek ise
n!=a1,a2,a3,…,?a ((n+1)/2)
Çift doğal sayıların faktöriyellerini ve tek doğal sayıların faktöriyellerini yukarıdaki yöntemle bulabiliriz.
Bu yöntem 1 den büyük bütün doğal sayılarda geçerlidir.
Sonuçlar, Sonuçların Değerlendirilmesi:
Doğal sayılırın faktöriyelleri farklı bir yöntemlede bulunabileceğini anladık.
Doğal sayıların fakötriylleri bulunurken örüntülerin oluştuğunu anladık.
tek sayıların fakötriyellerini alırken soldan itibaren ortadaki sayıya kadar(ortadaki sayıda dahil) sayıların çarpımı o doğal sayının faktöriyelini verdiğini gördük.
çift sayıların faktöriyelleri alınırken soldan itibaren ortadaki sayıya kadar(ortadaki sayı da dahil)ortadaki sayınında karekök değerinin çarpımı o doğal sayının fakötriyelini verdiğini gördük
Kaynakça:
27.10.213 tarihinde erişim sağlandı.
7.sınıf matematik ders kitabı 18-24 sayfalar.
