BU BENİM ESERİM PROJE YARIŞMASI
PROJE AMACI : n elemanlı {x, x+1,x+2,…,x+(n-1)} kümesinin r
elemanlı alt kümelerinin en küçük elemanlarının aritmetik ortalamasını
bulmak.
PROJE HEDEFİ :
Elemanları ardışık doğal sayılar olan kümelerin alt kümelerini incelemek.
n elemanlı {x, x+1,x+2,…,x+(n-1)} kümesinin r elemanlı alt kümelerinin en
küçük elemanlarının sayıları ile Pascal üçgeni arasındaki ilişkiyi
incelemek.
Pascal üçgeninin bir özelliğini daha keşfetmek.
n elemanlı {x, x+1,x+2,…,x+(n-1)} kümesinin r elemanlı alt kümelerinin en
küçük elemanlarının aritmetik ortalamasını
bulmak.
KULLANILAN YÖNTEM : Deneme, Akıl Yürütme ve Tümevarım Metotları
ULAŞILAN SONUÇ : n elemanlı {x, x+1,x+2,…,x+(n-1)} kümesinin r
elemanlı alt kümelerinin en küçük elemanlarının aritmetik ortalaması
(x-1)+(n+1)/(r+1)
olur.
DEĞERLENDİRME : n elemanlı {x, x+1,x+2,…,x+n-1} kümesinin r
elemanlı alt kümelerinin en küçük elemanlarının aritmetik ortalamasını veren
ifadeye ulaşıldı.
KAYNAKLAR :
MEB, İlköğretim Matematik 6 Ders Kitabı, DKM, İstanbul, 2010
MEB, İlköğretim Matematik 8 Ders Kitabı, DKM, Ankara, 2010
YÜCESAN Recep, Meraklısına Matematik, Zambak, İstanbul, 2002
ÇAVDAR Ali, Matematik 1, Zambak Yayınları, İzmir, 2002
ÇEPNİ Salih, Araştırma ve Proje Çalışmalarına Giriş, KTÜ, Trabzon, 2009
GERÇEKLEŞTİRİLEN FAALİYETLER:
Elemanları ardışık doğal sayılar olan {1,2,3,…,n} kümelerin alt kümeleri
incelendi.
{1,2,3,…,n} kümelerinin r elemanlı alt kümelerindeki en küçük elemanların
sayıları incelendi ve bu sayıların Pascal üçgeninde olduğu fark edildi.
{1,2,3,…,n} kümelerinin r elemanlı alt kümelerindeki en küçük elemanların
aritmetik ortalamasının en sade halinin olduğu fark edildi.
n elemanlı {x, x+1,x+2,…,x+(n-1)} kümesinin r elemanlı alt kümelerinin en
küçük elemanlarının sayıları ile Pascal üçgeni arasındaki ilişki incelendi.
n elemanlı {x, x+1,x+2,…,x+(n-1)} kümesinin r elemanlı alt kümelerinin en
küçük elemanlarının aritmetik ortalamasının en sade halinin olduğu
keşfedildi.
FAALİYET TAKVİMİ : Kasım 2010 – Şubat 2011 itibariyle
proje sonuçlandırıldı.
BÜTÇE : 10 TL.
DESTEK ALINAN KİŞİLER : Okulumuz matematik öğretmenlerini
Muhammet Özdemir’den yardım alınmıştır.
PROJE ÖZETİ:
EN KÜÇÜK ELEMANLARIN ARİTMETİK
ORTALAMASI
A={1,2,3,4,5,6,7,8} kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin en küçük
elemanlarının aritmetik ortalaması
{1,2} {1,3} {1,4} {1,5} {1,6} {1,7} {1,8} 7 tane 1 =
7 . 1 = 7
{2,3} {2,4} {2,5} {2,6} {2,7} {2,8} 6 tane
2 = 6 . 2 = 12
{3,4} {3,5} {3,6} {3,7} {3,8} 5
tane 3 = 5 . 3 = 15
{4,5} {4,6} {4,7} {4,8}
4 tane 4 = 4 . 4 = 16
{5,6} {5,7} {5,8}
3 tane 5 = 3 . 5 = 15
{6,7} {6,8}
2 tane 6 = 2 . 6 = 12
{7,8}
1 tane 7 = 1 . 7 = 7
B={3,4,5,6,7,8} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin en küçük
elemanlarının aritmetik ortalaması
{3,4,5,6} {3,4,5,7} {3,4,5,8} {3,4,6,7} {3,4,6,8} {3,4,7,8} {3,5,6,7}
{3,5,6,8} {3,5,7,8} {3,6,7,8}
10 tane 3 = 10 . 3 = 30
{4,5,6,7} {4,5,6,8} {4,5,7,8} {4,6,7,8} 4 tane 4 = 4
. 4 = 16
{5,6,7,8}
1 tane 5 = 1 . 5 = 5
Görüldüğü üzere n elemanlı kümelerin r elemanlı alt kümelerindeki en küçük
elemanların sayıları ve bu sayıların toplamı Pascal üçgeninde vardır.
Dolayısıyla alt kümeleri tek tek yazmadan r elemanlı alt kümelerdeki en küçük
elemanların toplamını ve kaç tane alt küme olduğunu Pascal
üçgeninden bulup aritmetik ortalamayı da bulabiliriz.
