ÇÖZÜM KÜMESİ KAÇ ELEMANLI

PROJE AMACI        :   a, b sıfırdan faklı tam sayılar olmak üzere,    x.y = a.x ± b.y   denkleminin tam sayılarda kaç farklı (x,y)  çözümü olduğunu bulmak.

PROJE HEDEFİ       :

Birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklemin tam sayılar kümesindeki çözümünü incelemek.

x.y = a.x ± b.y   denklemini sağlayan (x,y) tam sayı ikililerini inceleyip, katsayılarla olan ilişkilerini bulmak.

a, b sıfırdan faklı tam sayılar olmak üzere,    x.y = a.x ± b.y   denkleminin tam sayılarda kaç farklı (x,y)  çözümü olduğunu bulmak.

KULLANILAN YÖNTEM  :   Deneme, Akıl Yürütme ve Tümevarım Metotları

ULAŞILAN SONUÇ        :   a, b sıfırdan faklı tam sayılar olmak üzere,  x.y = a.x ± b.y denkleminin tam sayılarda farklı (x,y) çözüm sayısı  a . b  nin   bölen sayısı kadardır.

DEĞERLENDİRME       :   a, b sıfırdan faklı tam sayılar olmak üzere,  x.y = a.x ± b.y denkleminin tam sayılardaki farklı (x,y) çözüm sayısını pratik olarak bulabileceğimiz ifadeye ulaşıldı.

KAYNAKLAR                     :

MEB, İlköğretim Matematik 8 Ders Kitabı, DKM, Ankara, 2010

GÜRLÜ Ömer, Meraklısına İlköğretim Matematik, Zambak Yayınları, İzmir, 2004

ÇEPNİ Salih, Araştırma ve Proje Çalışmalarına Giriş, KTÜ, Trabzon, 2009

http://basvurular.meb.gov.tr/bubenimeserim/projebankasi.aspx

GERÇEKLEŞTİRİLEN FAALİYETLER:

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözüm kümeleri incelendi

Birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklemi sağlayan sıralı ikililer incelendi.

Özel olarak  x.y = a.x ± b.y denklemini sağlayan (x,y) tam sayı ikilileri bulunup, bu denklemin çözüm kümesinin eleman sayısı incelendi. Bulunan sonuç ile a ve b katsayıları arasındaki ilişki tespit edildi.

a, b sıfırdan faklı tam sayılar olmak üzere,  x.y = a.x ± b.y denkleminin tam sayılardaki farklı (x,y) çözüm sayısını pratik olarak bulabileceğimiz ifadeye ulaşıldı.

FAALİYET TAKVİMİ                    :     Kasım 2010 – Şubat 2011  itibariyle proje sonuçlandırıldı.

BÜTÇE                                         :     10 TL.

DESTEK ALINAN KİŞİLER         :    Okulumuz matematik öğretmenlerini Muhammet Özdemir’den yardım alınmıştır.

PROJE ÖZETİ:

ÇÖZÜM SAYISI

a, b sıfırdan faklı tam sayılar olmak üzere,  x.y = a.x + b.y denkleminin tam sayılarda kaç farklı (x,y) çözümü vardır?

x.y = a.x + b.y    ise      xy – ax = by     olur. Buradan

x.( y – a ) = by       ve      x=b+ab/(y-a)                ( y ≠ a)   eşitliğine ulaşırız.

Aynı şekilde,         x.y = a.x + b.y    ise      xy – ax = by     olur. Buradan

y.( x – b ) = ax     ve     y=a+ab/(x-b)           ( x ≠ b)    eşitliğine ulaşırız.

ÖRNEK:              x.y = 3x+4y   denklemini sağlayan (x,y) sıralı ikililerini bulalım.

x(y-3)=4y   olur. Buradan da     x=4+12/(y-3)     yazabiliriz.

x’in tam sayı olması için y-3 ifadesinin 12’yi tam bölmesi gerekir. O halde

Görüldüğü üzere  x.y = 3x+4y   denklemini sağlayan 12 tane (x,y) sıralı ikilisi buluruz. Çünkü    12 = 22.3 olduğundan 12’nin 2.(2+1).(1+1)=12 tane tam sayı böleni vardır.
a, b sıfırdan faklı tam sayılar olmak üzere,  xy = ax – by  denkleminin tam sayılarda kaç farklı (x,y) çözümü vardır?

xy = ax – by    ise      xy + by = ax     olur. Buradan

y.( x + b ) = ax     ve     y=a-ab/(x+b)                 ( x ≠ -b)   eşitliğine ulaşırız.

Aynı şekilde,         x.y = ax – by    ise      ax – xy = by     olur. Buradan

x.( a – y ) = by    ve    x=-b+ab/(a-y)                ( y ≠ a)    eşitliğine ulaşırız.

ÖRNEK:              x.y = 4x – 5y   denklemini sağlayan (x,y) sıralı ikililerini bulalım.

y.( x + 5 ) = 4x olur. Buradan da     y=4-20/(x+5)      yazabiliriz.

y’nin tam sayı olması için x+5 ifadesinin 20’yi tam bölmesi gerekir. O halde

Görüldüğü üzere  x.y = 4x – 5y   denklemini sağlayan 12 tane (x,y) sıralı ikilisi buluruz. Çünkü 20 = 22.5 olduğundan 20’nin 2.(2+1).(1+1)=12 tane tam sayı böleni vardır.
Sonuç olarak yukarıda bulduğumuz dört eşitlikten ve örneklerden de görüldüğü üzere,

x’in tam sayı olması için y – a ve a – y  ifadesinin, y’nin tam sayı olması için de  x – b ve  x + b

ifadelerinin   a . b’yi tam bölmesi gerekir. O halde  x.y = a.x ± b.y   denkleminin  a.b’nin bölen sayısı

kadar (x,y) tam sayı çözümü vardır.

CEVAP VER

Lütfen yorumunuzu giriniz!
lütfen isminizi buraya girin