PROJE AMACI : a, b sıfırdan faklı tam sayılar olmak üzere, x.y = a.x ± b.y denkleminin tam sayılarda kaç farklı (x,y) çözümü olduğunu bulmak.
PROJE HEDEFİ :
Birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklemin tam sayılar kümesindeki çözümünü incelemek.
x.y = a.x ± b.y denklemini sağlayan (x,y) tam sayı ikililerini inceleyip, katsayılarla olan ilişkilerini bulmak.
a, b sıfırdan faklı tam sayılar olmak üzere, x.y = a.x ± b.y denkleminin tam sayılarda kaç farklı (x,y) çözümü olduğunu bulmak.
KULLANILAN YÖNTEM : Deneme, Akıl Yürütme ve Tümevarım Metotları
ULAŞILAN SONUÇ : a, b sıfırdan faklı tam sayılar olmak üzere, x.y = a.x ± b.y denkleminin tam sayılarda farklı (x,y) çözüm sayısı a . b nin bölen sayısı kadardır.
DEĞERLENDİRME : a, b sıfırdan faklı tam sayılar olmak üzere, x.y = a.x ± b.y denkleminin tam sayılardaki farklı (x,y) çözüm sayısını pratik olarak bulabileceğimiz ifadeye ulaşıldı.
KAYNAKLAR :
MEB, İlköğretim Matematik 8 Ders Kitabı, DKM, Ankara, 2010
GÜRLÜ Ömer, Meraklısına İlköğretim Matematik, Zambak Yayınları, İzmir, 2004
ÇEPNİ Salih, Araştırma ve Proje Çalışmalarına Giriş, KTÜ, Trabzon, 2009
GERÇEKLEŞTİRİLEN FAALİYETLER:
Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözüm kümeleri incelendi
Birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklemi sağlayan sıralı ikililer incelendi.
Özel olarak x.y = a.x ± b.y denklemini sağlayan (x,y) tam sayı ikilileri bulunup, bu denklemin çözüm kümesinin eleman sayısı incelendi. Bulunan sonuç ile a ve b katsayıları arasındaki ilişki tespit edildi.
a, b sıfırdan faklı tam sayılar olmak üzere, x.y = a.x ± b.y denkleminin tam sayılardaki farklı (x,y) çözüm sayısını pratik olarak bulabileceğimiz ifadeye ulaşıldı.
FAALİYET TAKVİMİ : Kasım 2010 – Şubat 2011 itibariyle proje sonuçlandırıldı.
BÜTÇE : 10 TL.
DESTEK ALINAN KİŞİLER : Okulumuz matematik öğretmenlerini Muhammet Özdemir’den yardım alınmıştır.
PROJE ÖZETİ:
ÇÖZÜM SAYISI
a, b sıfırdan faklı tam sayılar olmak üzere, x.y = a.x + b.y denkleminin tam sayılarda kaç farklı (x,y) çözümü vardır?
x.y = a.x + b.y ise xy – ax = by olur. Buradan
x.( y – a ) = by ve x=b+ab/(y-a) ( y ≠ a) eşitliğine ulaşırız.
Aynı şekilde, x.y = a.x + b.y ise xy – ax = by olur. Buradan
y.( x – b ) = ax ve y=a+ab/(x-b) ( x ≠ b) eşitliğine ulaşırız.
ÖRNEK: x.y = 3x+4y denklemini sağlayan (x,y) sıralı ikililerini bulalım.
x(y-3)=4y olur. Buradan da x=4+12/(y-3) yazabiliriz.
x’in tam sayı olması için y-3 ifadesinin 12’yi tam bölmesi gerekir. O halde
Görüldüğü üzere x.y = 3x+4y denklemini sağlayan 12 tane (x,y) sıralı ikilisi buluruz. Çünkü 12 = 22.3 olduğundan 12’nin 2.(2+1).(1+1)=12 tane tam sayı böleni vardır.
a, b sıfırdan faklı tam sayılar olmak üzere, xy = ax – by denkleminin tam sayılarda kaç farklı (x,y) çözümü vardır?
xy = ax – by ise xy + by = ax olur. Buradan
y.( x + b ) = ax ve y=a-ab/(x+b) ( x ≠ -b) eşitliğine ulaşırız.
Aynı şekilde, x.y = ax – by ise ax – xy = by olur. Buradan
x.( a – y ) = by ve x=-b+ab/(a-y) ( y ≠ a) eşitliğine ulaşırız.
ÖRNEK: x.y = 4x – 5y denklemini sağlayan (x,y) sıralı ikililerini bulalım.
y.( x + 5 ) = 4x olur. Buradan da y=4-20/(x+5) yazabiliriz.
y’nin tam sayı olması için x+5 ifadesinin 20’yi tam bölmesi gerekir. O halde
Görüldüğü üzere x.y = 4x – 5y denklemini sağlayan 12 tane (x,y) sıralı ikilisi buluruz. Çünkü 20 = 22.5 olduğundan 20’nin 2.(2+1).(1+1)=12 tane tam sayı böleni vardır.
Sonuç olarak yukarıda bulduğumuz dört eşitlikten ve örneklerden de görüldüğü üzere,
x’in tam sayı olması için y – a ve a – y ifadesinin, y’nin tam sayı olması için de x – b ve x + b
ifadelerinin a . b’yi tam bölmesi gerekir. O halde x.y = a.x ± b.y denkleminin a.b’nin bölen sayısı
kadar (x,y) tam sayı çözümü vardır.
