İLKÖĞRETİM OKULU ÖĞRENCİLERİNE YÖNELİK MATEMATİK VE FEN BİLİMLERİ PROJE ÇALIŞMASI
BU BENİM ESERİM MATEMATİK VE FEN BİLİMLERİ PROJE YARIŞMASI
PROJE AMACI : Bir kümenin hiçbiri bir diğerinin alt kümesi olmayacak şekilde en çok kaç tane alt kümesi olacağını hesaplamak.
PROJE HEDEFİ :
Bir kümenin alt kümeleri arasındaki ilişkiyi incelemek.
Bir kümenin alt küme sayıları ile Pascal Üçgeni ve kombinasyon arasındaki ilişkiyi incelemek.
Bir kümenin hiçbiri bir diğerinin alt kümesi olmayacak şekilde en çok kaç tane alt kümesi olacağını hesaplamak.
KULLANILAN YÖNTEM : Deneme, Akıl Yürütme ve Tümevarım Metotları
ULAŞILAN SONUÇ :
n elemanlı bir kümenin hiçbiri bir diğerinin alt kümesi olmayacak şekilde en çok kaç alt kümesi vardır?
Aynı eleman sayılı alt kümeler birbirinin alt kümesi olmazlar. Dolayısıyla,
n çift ise,
n/2 elemanlı alt kümeler n elemanlı bir kümenin en çok sayıdaki alt kümeleridir.
O halde en çok C(n,n/2) tane alt kümesi birbirini kapsamayacak şekilde seçilebilir.
n tek ise,
(n-1)/2 veya (n+1)/2 elemanlı alt kümeler n elemanlı bir kümenin en çok sayıdaki alt kümeleridir.
O halde en çok C(n,(n-1)/2) = C(n,(n+1)/2) tane alt kümesi birbirini kapsamayacak şekilde seçilebilir.
DEĞERLENDİRME : Bir kümenin hiçbiri bir diğerinin alt kümesi olmayacak şekilde en çok kaç tane alt kümesi olacağı formülize edildi.
KAYNAKLAR :
MEB, İlköğretim Matematik 6 Ders Kitabı, DKM, İstanbul, 2010
MEB, İlköğretim Matematik 8 Ders Kitabı, DKM, Ankara, 2010
ÇEPNİ Salih, Araştırma ve Proje Çalışmalarına Giriş, KTÜ, Trabzon, 2009
ÇAVDAR Ali, Matematik 1, Zambak Yayınları, İzmir, 2002
GERÇEKLEŞTİRİLEN FAALİYETLER:
Kümelerin alt kümeleri ve sayıları incelendi.
Alt kümelerin birbiriyle olan kapsama ve alt küme olma durumları incelendi.
Bir kümenin alt küme sayıları ile Pascal üçgeni arasındaki ilişki incelendi.
Pascal üçgenindeki sayıların kombinasyonla olan ilişkisi incelendi.
Bir kümenin hiçbiri bir diğerinin alt kümesi olmayacak şekilde en çok kaç tane alt kümesi olacağı formülize edildi.
FAALİYET TAKVİMİ : Kasım 2010 – Şubat 2011 itibariyle proje sonuçlandırıldı.
BÜTÇE : 10 TL.
DESTEK ALINAN KİŞİLER : Okulumuz matematik öğretmenlerini Muhammet Özdemir’den yardım alınmıştır.
PROJE ÖZETİ:
ALT KÜME OLMAYAN ALT KÜMELER
n elemanlı bir kümenin hiçbiri bir diğerinin alt kümesi olmayacak şekilde en çok kaç alt kümesi vardır?
A={1,2,3,4} kümesinin alt kümeleri: { }, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4},
{1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4}
B={1,2,3,4,5} kümesinin alt kümeleri: { }, {1}, {2}, {3}, {4}, {5},
{1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {3,4}, {3,5}, {4,5},
{1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,5}, {1,3,4},{1,3,5}, {1,4,5}, {2,3,4}, {2,3,5}, {2,4,5}, {3,4,5},
{1,2,3,4}, {1,2,3,5}, {1,2,4,5}, {1,3,4,5}, {2,3,4,5}, {1,2,3,4,5}
Örneklerden de görüldüğü üzere, aynı eleman sayılı alt kümeler birbirinin alt kümesi olmazlar. Dolayısıyla,
n çift ise,
n/2 elemanlı alt kümeler n elemanlı bir kümenin en çok sayıdaki alt kümeleridir.
O halde en çok C(n,n/2) tane alt kümesi birbirini kapsamayacak şekilde seçilebilir.
n tek ise,
(n-1)/2 veya (n+1)/2 elemanlı alt kümeler n elemanlı bir kümenin en çok sayıdaki alt kümeleridir.
O halde en çok C(n,(n-1)/2) = C(n,(n+1)/2) tane alt kümesi birbirini kapsamayacak şekilde seçilebilir.
Bu özelliği Pascal üçgeninde de rahatlıkla görebiliriz.
