PROJE ADI:KAREDE SPİDRONAL YAPILAR
PROJE AMACI:
Ülkemizde henüz çok bilinmeyen spidron yapıların matematiksel temellerini irdeleyerek , kare spidronu tüm geometrik özellikleriyle tanımak .
PROJE HEDEFLERİ;
Karenin spidronal yapısını tanımak.
Kare yardımıyla tüm spidronlar hakkında bilgi edinmek.
Kare spidronların çevre ve alanlarını hesaplayan genel formüller bulmak.
Kare spidronların konveks,konkav ve diğer açılarını hesaplayan genel formüller bulmak ve bu formüllerin diğer spidronlarda geçerli olup olmadığını araştırmak.
Fraktalların ,kare spidronlarla ilişkisini alan hesaplarıyla ispat edebilmek.
Altın oranın kare spidronlarla olan ilişkisini araştırmak.
Simetri kavramının kare spidronlarda vazgeçilemez bir unsur olduğunu vurgulamak.
Spidronlar yardımıyla ,matematiğin mimarlik ve sanatla olan ilişkisini kavrayabilmek
Spidron yapıların ,mühendislik ve kimya bilimlerinde kullanabileceği alanları tespit etmek.
Kare spidronların düzlemi hiç boşluk bırakmadan sonsuza kadar döşeyebileceklerini göstermek.
PROJE ÖZETİ:
Spidron yapılar , matematiğin estetik yanını gösteren simetri,altın oran ve fraktal üçlüsünün buluşma noktası olduğu geometrik formlardır.Tüm düzgün çokgenler, spidron oluştururlar,. Spidron desenleri,matematik ve sanat hakkında bilgi edinmek için harika bir yoldur. Gerçekten de iki boyutlu spidronlara katlanılarak üç boyut kazandırılıyor ve görsel ve sanatsal harika yapılar ortaya çıkarılıyor.
Spidron sistemi ilk olarak 1979 yılında Macar grafik sanatçısı Daniel Erdely modellemiştir.Matematiksel modeli ise Lajos Szilassi tarafından tanımlanmıştır. Spidronlar mozaik,kimya , malzeme bilimi ,kristaller ve yarı kristaller konuları için çok önemlidir.Mühendislikte ,araçlarda şok damperleri olarak kullanılır.Mimarlıkta ise ,yüzeyi ayarlanabilir akustik duvar ,çeşitli katlanabilen binalar ve statik yapılarda kullanılır.
PROJEMİZDE KAREDE SPİDRONAL YAPILARI İNCELEYECEĞİZ.
Kare Spidronlar , ikizkenar dik üçgen (45,45,90 derece) dizilerinin ardışık olarak birbirine eklenerek oluşturduğu geometrik yapılardır.
Kare, kenar sayısına bağlı olarak dört spiral kola ayrılır.Örneğin düzgün beşgen 5 spiral kola, düzgün altıgen 6 spiral kola ayrılır.Spiral kollara yarım spidron adı verilir.Yarım spidronun alt taban uzunluğu karenin kenar uzunluğuna eşittir.İki yarım spidron birleşerek , bir tam spidronu oluştururlar.Yarım spidronlar birleşerek , S şeklinde sarmal oluşturuyorlarsa buna deniz atı spidronu denir.Deniz atı spidronu saat yönünde ve saat yönünün tersi yönünde olmak üzere iki çeşittir.Eğer, yarım spidronlar boynuza benzer şekilde alt tabanlarından birleşiyorsa buna da koç boynuzu spidron denir.
Yarım spidron+yarım spidron= 1 spidron
İki boyutlu bir düzlemde , kare spidronlarla mozaik yapmak mümkündür.
SPİDRON NASIL ÇİZİLİR?
1,ADIM:Bir tane kare çizelim.
2.adım:Karenin içine orta noktalarından çizilen ikinci bir kare daha çizelim.
3.adım:Sonra ortada oluşan karenin içine de tekrar tekrar aynı şekilde devam ettirelim.
Oluşan kareler sırasıyla birbirinin altın oranlısıdır.Karenin içinde dört spiral kolu yani yarım spidronları renklendirerek belirleyelim.
KULLANILAN YÖNTEMLER:Projemizde kare spidronu, bilinen yöntemlerle çizmedik.Spidronumuzu çizerken karesel köşegenli kağıtlar kullandık.Karesel köşegenli kağıtların en büyük avantajı ,spidronun uzunluk ölçülerini kolaylıkla hesaplayabilmek oldu..Spidronun konveks , konkav ve diğer açılarını iletki kullanmadan ölçebildik.Eğer karenin kenar uzunluğu 16 birim ve katları ise kağıtlarda uzunlukları net bir şekilde görebilmemiz mümkün olmaktadır.Karesel kağıtlarda ,karelerin kenar uzunluklarını 1 birim ,karekök 2 birim olarak gösterdik.Halbuki bilinen yöntemlerle , spidronu çizmeye çalışsaydık ,açı ve uzunluk ölçülerini bu kadar kolaylıkla göremeyecektik.Spidronu renkli karesel kağıtlara çizerek düzlemi sonsuz bir şekilde kaplayabileceğini gösterdik.Ayrıca sınıfta karesel geometri tahtalarını kullanarak renkli lastiklerle spidronu kolay bir şekilde gösterebildik.altıgen spidronunda üçgensel kağıtlara kolaylıkla çizilebileceğini düşündük. Ama diger düzgün çokgen spidronları için bizim yöntemimizin uygun olmadığını gördük.Örneğin, beşgen spidron,yedigen spidron,sekizgen spidron??.
PROJE BÜTÇESİ:50 TL
PROJENİN TAKVİMİ:
1-30 EKİM :Çalışılacak konunun tespiti,literatür taraması
1-30 KASIM:Spidron hakkında bilgi edinilmesi
1-31 ARALIK:Kare spidronları karesel köşegenli kağıtlara çizmek ,açılarını , ve kenar uzunluklarını ölçmek,alan ve çevre hesaplamaları yapmak
1 -23 OCAK: Spidronları katlayarak, üç boyutlu estetik formlar ortaya çıkarmak, iki boyutlu düzlemi rengarenk spidronlarla kaplamak.
24OCAK-1 ŞUBAT:Projenin internet ortamında yazılması
ULAŞILAN SONUÇLAR:
1-)Dört tane yarım spidronun toplam alanı karenin alanını verir.
2-)1 tane yarım spidronun alanı karenin dörtte biri alanına eşittir.
3-)2 tane yarım spidronun yani bir spidronun alanı karenin alanın yarısına eşittir.
4-)3 tane yarım spidronun alanı karenin alanının dörtte üçüne eşittir..
5-)İki spidronun alanı karenin alanına eşittir.
6-)Spidrondaki ikizkenar dik üçgenlerin kenar uzunlukları merkeze doğru gidildikçe karekök iki kat azalır.
Örneğin,kenar uzunluğu 16 birim olan karenin yarım spidronunda bulunan ikizkenar dik üçgenlerin ikiz kenar uzunlukları sırasıyla 8 birim, 4x karekök 2 birim, 4 birim,2x karekök 2 birim,2 birim,karekök 2
7-)Koç boynuzu spidronunda doğruya göre simetri vardır.
8-)Kare spidron düzlemi sonsuz bir şekilde kaplar.
9-)Düzgün çokgenler kenar sayılarına bağlı olarak spiral kollara (yarım spidronlara) ayrılırlar.Örneğin,düzgün altıgen 6 spiral kola , düzgün beşgen 5 spiral kola ayrılır.
10-) Kare spidronun konkav açısı ( iç bukey) 135 derece ,konveks açısı (dış bukey) 225 derecedir.n kenar sayısını göstermek üzere ,tüm spidronların iç bukey açısı 180x(n-1)/n formülüyle hesaplanır.Aynı şekilde dış bukey açısı 180x(n+1)/n formülüyle hesaplanır.Örneğin düzgün beşgen spidronun iç bukey açısı =180x(5-1)/5=144 derece,dış bukey açısı =180x(5+1)/5= 216 derece bulunur.
11-) Tüm spidronlarda iç bukey açı ile dış bukey açının toplamı 360 derecedir.Örneğin altıgen spidronda 150 derece+210 derece=360 derece bulunur.
12-)Kare yarım spidronun en küçük açısı 45 derecedir. n, düzgün çokgenlerin kenar sayısını göstermek üzere , 180 /n formülüyle bütün düzgün çokgenlerin yarım spidronlarının en küçük açısı bulunur.Örneğin ,düzgün sekizgenin yarım spidronun en küçük açısı 180/8= 22,5 derecedir.
13-)Kenar uzunluğu s birim olan bir kareyi ele alalım .Kare yarım spidronunun taban uzunluğu s/2 birimdir.
yarım spidronun ilk dik ikizkenar üçgeninin alanı =sxs/8 formülüyle bulunur.Örneğin kenar uzunluğu 16 br olan karenin, yarım spidronun ilk dik ikizkenar üçgeninin alanı 8×8/2= 32 birimkare bulunur.
14-)Spidronlar fraktallaşan yapılar olduklarından çevre uzunlukları yaklaşık olarak bulunur.
KARE YARIM SPİDRONUN VE KARE SPİDRONUN ÇEVRE UZUNLUKLARININ HESAPLANMASI:
Karenin bir kenar uzunluğu s birim olsun .Kare spidronun taban uzunluğuna t diyelim. t=s/2
n. adımda
çevre uzunluğu= 2.(t + t / karekök 2 + t / ( karekök 2)^2 + t / ( karekök 2)^3 +?.+
t / ( karekök 2)^n )
n. adımda kare spidronun çevresi
Ç= 2.t + 4. (t / karekök 2 + t / ( karekök 2)^2 + t / ( karekök 2)^3 +?.+
t / ( karekök 2)^n ) formülleriyle bulunur.
Örnek : Karenin kenar uzunluğu 16 birim ise ,yarım spidronunun 6. Adımda çevresini hesaplayalım.
S= 16 br olduğundan t= 8 br.
Ç( kare yarım spidron)=2.( 8+ (4x karekök 2) + 4 + (2xkarekök 2) + 2 + (karekök 2) )
=16 + 8x karekök 2 + 8 + 4x karekök 2 + 4 + 2xkarekök 2
=28 + 14x karekök 2 birim bulunur.
Ç(KARE SPİDRON)=2×8 +4.( 4x karekök 2 + 4 + (2xkarekök 2) + 2 + (karekök 2)
=16+ 16x karekök 2 + 16 + 8x karekök 2 + 8 + 4xkarekök 2
=40 + 32xkarekök 2 birim bulunur.
15-)YARIM SPİDRONUN ALANI
An, ikizkenar dik üçgenlerin ( 45,,45,90 derece) toplam alanını göstermek üzere
n.adımda
A (yarım spidron) =A1+A2+A3+ +An
A (yarım spidron) =A1+ (A1)/2 + (A1)/ 4 + (A1)/ 8+ (A1)/16+ +(A1)/ 2^n
formülü ile hesaplanır. Çıkan sonuç karenin alanının dörtte birine eşittir.
Spidronun alanı ise,
n. adımda A spidron=2.(A1+ (A1)/2 + (A1)/ 4 + (A1)/ 8+ (A1)/ 16+ +(A1)/ 2^n)
formülü ile hesaplanır.Çıkan sonuç karenin alanının yarısına eşittir.Görüldüğü gibi ikizkenar dik üçgenler adımlar arttıkça giderek küçülen ölçeklerde yinelenir ve bu durum sonsuza kadar sürer.Bu yüzden spidronlar fraktal yapılardır.
SONUÇLARIN DEĞERLENDİRİLMESİ:
Projemiz düzgün çokgenler,ikizkenar dik üçgenler,açılar,trigonometri.üslü sayılar,kareköklü sayılar ,fraktallar,spiraller,eşlik,benzerlik,altın oran,simetri konularını çok zevkli bir şekilde öğrenmemizi sağladı.
DESTEK ALINAN KİŞİ VE KURUMLAR:
Projemizi yaparken matematik öğretmenimiz RENGİN GÜLBAY dan yardım aldık.Projemiz sayesinde ,özellikle spidronun çevre ve alan hesaplamalarında trigonometri ve kareköklü sayılarla işlem yapılabildiği için ( 6. sınıfta olmamıza rağmen) 8. Sınıf konularını da çok iyi anlamış ,matematiğimizi daha da geliştirmiş olduk.
PROJE KONUSU İLE İLGİLİ LİTERATÜR (KAYNAK) TARAMASI:
Spidrons
Stefan Stenzhorn April 2009
Erdely,D. Spidron Workbook
http://www.szinhaz.hu/edan/SpidronWorkBook/
EN.pdf
Kuleli Ortaokulu
Yıldırım Beyazıt Cad.No:3 Yenibosna-BAHÇELİEVLER
MATEMATİK – KAREDE SPİDRONAL YAPILAR
MELİH BALTACI MUHAMMET TAŞKIN
DURİYE RENGİN GÜLBAY
Fen Projesi / Matematik Projesi
Bu Benim Eserim Fen Bilimleri ve Matematik Projeleri Yarışması
Bilim Şenliği Projeleri
