Proje Adı: Kaliteli , İyi , Kötü ve Asal sayılar
Proje Amacı :
Pozitif tam sayıların; bölenleri, bölenleri toplamı (T) ve sayının kendisi (n) arasındaki ilişkinin araştırılması.
Giriş :
Positif tam sayıların kalansız olarak (tam olarak) bölünebildikleri yine pozitif tam sayılar vardır. Bu sayılara o sayının bölenleri denir.
Her pozitif tam sayı 1 e kalansız tam bölünür. Aynı şekilde her pozitif tamsayı kendine kalansız tam olarak bölünebilir. Dolayısı ile 1 ve sayının kendisi her zaman o sayının bölenleridir. Sadece 1 e ve kendine bölünebilen, bunların haricinde bölenleri olmayan sayıların kümesine asal sayılar denir.(1 hariç)
Bunların haricindeki positif tam sayılar, hem 1 e, hem kendilerine, hem de diğer bölenlerine kalansız bölünür.
Bu projemdeki birinci hedefim, belli bir pozitif tam sayı grubunun bölenlerini bulmak ve tablo haline getirmektir.
İkinci hedefim ise , bölenlerin toplamlarını bulmak, bu toplamlar ile orijinal pozitif tamsayı arasındaki ilişkiyi çıkarmaktır.
Üçüncü hedefim ise ,bu ilişkileri somut bir genel kurala dönüştürebilmektir.
Kullanılan yöntem:
Pozitif tam sayıların ilk 100 tanesini ele alarak bu yüz sayının bölenlerini , bölenlerinin toplamını tablo haline getirdim. (Not: Bölenleri toplamında sayının kendisini dahil etmedim.)
Pozitif tam Sayının Bölenleri Bölenleri toplamı (T) Toplamı sayı ile
sayı (n) (kendisi hariç) karşılaştırma
1 1 0 –
2 1,2 1 asal sayı
3 1,3 1 asal sayı
4 1,2,4 3 –
5 1,5 1 asal sayı
6 1,2,3,6 6 n = T
7 1,7 1 asal sayı
8 1,2,4,8 7 –
9 1,3,9 4 –
10 1,2,5,10 8 –
11 1,11 1 asal sayı
12 1,2,3,4,6,12 16 n < T
13 1,13 1 asal sayı
14 1,2,7,14 10 –
15 1,3,5,15 9 –
16 1,2,4,8,16 15 –
17 1,17 1 asal sayı
18 1,2,3,6,9,18 21 n < T
19 1,19 1 asal sayı
20 1,2,4,5,10,20 22 n < T
21 1,3,7,21 11 –
22 1,2,11,22 14 –
23 1,23 1 asal sayı
24 1,2,3,4,6,8,12,24, 36 n < T
25 1,5,25 6 –
26 1,2,13,26 16 –
27 1,3,9,27 13 –
28 1,2,4,7,14,28 28 n = T
29 1,29 1 asal sayı
30 1,2,3,5,6,10,15,30 42 n < T
31 1,31 1 asal sayı
32 1,2,4,8,16,32 31 –
33 1,3,11,33 15 –
34 1,2,17,34 20 –
35 1,5,7,35 13 –
36 1,2,3,4,6,9,12,18,36 55 n < T
37 1,37 1 asal sayı
38 1,2,19,38 22 –
39 1,3,13,39 17 –
40 1,2,4,5,8,10,20,40 50 n < T
41 1,41 1 asal sayı
42 1,2,3,6,7,14,21,42 54 n < T
43 1,43 1 asal sayı
44 1,2,4,11,22,44 40 –
45 1,3,5,9,15,45 33 –
46 1,2,23,46 26 –
47 1,47 1 asal sayı
48 1,2,3,4,6,8,12,16,24,48 76 n < T
49 1,7,49 8 –
50 1,2,5,10,25,50 43 –
51 1,3,17,51 21 –
52 1,2,4,13,26,52 46 –
53 1,53 1 asal sayı
54 1,2,3,6,9,18,27,54 66 n < T
55 1,5,11,55 17 –
56 1,2,4,7,8,14,28,56 64 n < T
57 1,3,19,57 23 –
58 1,2,29,58 32 –
59 1,59 1 asal sayı
60 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60 108 n < T
61 1,61 1 asal sayı
62 1,2,31 3 –
63 1,3,7,9,21,63 41 –
64 1,2,4,8,16,32,64 63 –
65 1,5,13,65 19 –
66 1,2,3,6,11,22,33,66 78 n < T
67 1,67 1 asal sayı
68 1,2,4,17,34,68 58 –
69 1,3,23,69 27 –
70 1,2,5,7,10,14,35,70 74 n < T
71 1,71 1 asal sayı
72 1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72 123 n < T
73 1,73 1 asal sayı
74 1,2,37,74 40 –
75 1,3,5,15,25,75 49 –
76 1,2,4,19,38,76 64 –
77 1,7,11,77 19 –
78 1,2,3,6,13,26,39,78 90 n < T
79 1,79 1 asal sayı
80 1,2,4,5,8,10,16,20,40,80 106 n < T
81 1,3,9,27,81 40 –
82 1,2,41,82 44 –
83 1,83 1 asal sayı
84 1,2,3,4,6,7,12,14,21,28,42,84 140 n < T
85 1,5,17,85 23 –
86 1,2,43,86 46 –
87 1,3,29,87 33 –
88 1,2,4,8,11,22,44,88 92 n < T
89 1,89 1 asal sayı
90 1,2,3,5,6,9,10,15,18,30,45,90 144 n < T
91 1,7,13,91 21 –
92 1,2,4,23,46,92 76 –
93 1,3,31,93 34 –
94 1,2,47,94 50 –
95 1,5,19,95 25 –
96 1,2,3,4,6,8,12,16,24,32,48,96 156 n < T
97 1,97 1 asal sayı
98 1,2,7,14,49,98 73 –
99 1,3,9,11,33,99 57 –
100 1,2,4,5,10,20,25,50,100 117 n < T
Proje bütçesi:
Proje için herhangi bir harcama yapılmamıştır.
Proje çalışma takvimi:
01.Aralık.2012 – 15.Kasım.2012 Proje konusunun seçimi.
15.Aralık.2012 – 20.Aralık.2012 Proje konusu ile ilgili internet ve literatür taraması.
20.Aralık.2012 – 30.Aralık.2012 Konunun daraltılarak tanımlanmış bir alana indirgenmesi.
02.Ocak.2013 – 06.Ocak.2013 Sonuçların değerlendirilmesi.
06.Ocak.2013 – 18.Ocak.2013 Sade bir sunumun hazırlanması.
Ulaşılan sonuçlar:
Pozitif Tam Sayının kendisi ile bölenlerinin toplamları karşılaştırıldığında sayıların 4 ana grupta toplandığı görülmektedir. ( n = Pozitif Doğal Sayı , T = Bölenlerinin kendisi hariç toplamı )
1.grup: Bölenlerinin toplamı sayıya eşit: ( n = T )
2.grup: Bölenlerinin toplamı sayıdan büyük: ( n < T )
3.grup: Bölenlerinin toplamı sayıdan küçük : ( n > T )
4.grup: Bölenlerinin toplamı bir e eşit: ( 1 = T )
Sonuçların değerlendirilmesi:
İlk n=100 pozitif tam sayı için:
1.grup: n = T ise oluşan örüntü: ( KALİTELİ SAYILAR )
n = { 6 , 28 }
Özellikleri: Bölenlerinin toplamı kendisine eşit sayılar. Bu özellik ender bulunduğu için ilk yüzlük grupta böyle kaliteli sayılardan sadece 2 tane var.İkisi de çift sayı.
2.grup: n < T ise oluşan örüntü: ( İYİ SAYILAR )
n = { 12,18,20,24,30,36,40,42,48,54,56,60,66,70,72,78,80,84,88,90,96,100}
Özellikleri: Bölenlerinin toplamı kendinden büyük sayılar.Bu özellikte kolay bulunmadığı için ilk yüzlük grupta bu sayılardan 22 adet var.Hepsi de çift sayı.
3.grup: n > T ise oluşan örüntü: ( KÖTÜ SAYILAR )
n = { 1,4,8,9,10,14,15,16,21,22,25,26,27,32,33,34,35,38,39,44,45,46,49,50,
51,52,55,57,58,62,63,64,65,68.69,74,75,76,77,81,82,85,86,87,91,92,93,94,95,98,99 }
Özellikleri : Bölenlerinin toplamı kendinden küçük sayılar. Bu özellikte kolay bulunduğu için ilk yüzlük grubun yarısından fazlası bu tür sayılardan oluşuyor.Çift ve tek sayılardan meydana geliyor.
4.grup: 1 = T ise oluşan örüntü: (ASAL SAYILAR)
n = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97}
Özellikleri: Bölenlerinin toplamı 1 e eşit sayılar.Bu sayılar sadece 1 e ve kendilerine bölünebiliyorlar. Kendileri hariç bölenleri sadece 1 ,dolayısı ile toplamları da 1 dir..Bu sayılardan ilk yüzlük grupta 25 tane var.2 hariç diğerleri tek sayı.
Kaynaklar:
– İLKÖĞRETİM ÇALIŞMA KİTABİ Matematik 8 ( Mehtap Canpekel )
– İLKÖĞRETİM DERS KİTABİ Matematik 8 ( Mehtap Canpekel) )
-www.matematikkulubu.org
-www.matematiknet.com
-www.vitaminilkogretim.com.tr
– www.matematiktutkusu.com
İlhami Ahmet Örnekal Ortaokulu
BAĞDAT CAD.NO:219 GÖZTEPE/KADIKÖY
MATEMATİK – KALİTELİ, İYİ, KÖTÜ VE ASAL SAYILAR
ATACAN SAGUT
GÜLÜMSER ARAZ
Fen Projesi / Matematik Projesi
Bu Benim Eserim Fen Bilimleri ve Matematik Projeleri Yarışması
Bilim Şenliği Projeleri
